Номер 212, страница 97 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

212. Длина одной стороны треугольника равна 16 см. Прямая, параллельная ей, делит треугольник на два равновеликих многоугольника. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного между двумя другими сторонами треугольника.

Дано:

Длина одной стороны треугольника (обозначим ее как $a$) $= 16 \text{ см}$.

Прямая, параллельная данной стороне, делит треугольник на две равновеликие фигуры (т.е., площади получившегося меньшего треугольника и трапеции равны).

СИ:

Единицы измерения уже соответствуют системе СИ для длины (сантиметры), поэтому перевод не требуется.

$a = 16 \text{ см}$.

Найти:

Длину отрезка этой прямой, заключенного между двумя другими сторонами треугольника (обозначим ее как $x$).

Решение:

Пусть исходный треугольник будет $\triangle ABC$, и сторона, длина которой равна $16 \text{ см}$, это $BC = a$.

Пусть прямая, параллельная $BC$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Тогда отрезок, который мы ищем, это $DE = x$.

Так как прямая $DE$ параллельна стороне $BC$, то треугольник $\triangle ADE$ подобен исходному треугольнику $\triangle ABC$ по двум углам (угол $A$ общий, и $\angle ADE = \angle ABC$ как соответственные углы при параллельных прямых $DE$ и $BC$ и секущей $AB$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их соответствующих сторон.

Пусть $S_{\triangle ABC}$ - площадь исходного треугольника, а $S_{\triangle ADE}$ - площадь меньшего треугольника.

По условию задачи, прямая делит исходный треугольник на две равновеликие фигуры. Это означает, что площадь треугольника $\triangle ADE$ равна площади трапеции $DBCE$.

Следовательно, $S_{\triangle ADE} = S_{DBCE}$.

Общая площадь исходного треугольника $S_{\triangle ABC}$ является суммой площадей $\triangle ADE$ и трапеции $DBCE$:

$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADE} + S_{DBCE}$

Подставляя $S_{DBCE} = S_{\triangle ADE}$ в это уравнение, получаем:

$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADE} + S_{\triangle ADE} = 2 S_{\triangle ADE}$

Из этого следует, что площадь меньшего треугольника составляет половину площади исходного треугольника:

$S_{\triangle ADE} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC}$

Теперь используем свойство отношения площадей подобных треугольников:

$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = \left(\frac{DE}{BC}\right)^2$

Подставим известные значения, где $DE=x$ и $BC=a$:

$\frac{\frac{1}{2} S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABC}} = \left(\frac{x}{a}\right)^2$

$\frac{1}{2} = \left(\frac{x}{a}\right)^2$

Чтобы найти отношение $\frac{x}{a}$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{\left(\frac{x}{a}\right)^2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{x}{a}$

Теперь выразим $x$:

$x = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Подставим заданное значение $a = 16 \text{ см}$:

$x = \frac{16}{\sqrt{2}}$

Для устранения иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$x = \frac{16 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{16 \sqrt{2}}{2}$

Выполним деление:

$x = 8 \sqrt{2}$

Длина отрезка составляет $8\sqrt{2}$ см.

Ответ:

$8\sqrt{2} \text{ см}$.