Номер 208, страница 96 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

208. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $K$, причем $KC : CD = 1 : 3$. Известно, что $AB = 4,5$ см, $CD = 6$ см, $AD = 10$ см и высота $KN$ треугольника $BKS$ равна $1,2$ см. Найдите:

а) стороны $\triangle BKS$;

б) высоту трапеции $ABCD$.

Дано

Трапеция $ABCD$, $AD \parallel BC$. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$.

$KC : CD = 1 : 3$

$AB = 4.5$ см

$CD = 6$ см

$AD = 10$ см

Высота $KN$ треугольника $BKC$ равна $1.2$ см (точка $N$ лежит на стороне $BC$).

Перевод в СИ

$AB = 4.5 \text{ см} = 0.045$ м

$CD = 6 \text{ см} = 0.06$ м

$AD = 10 \text{ см} = 0.1$ м

$KN = 1.2 \text{ см} = 0.012$ м

Найти

а) Стороны $\triangle BKC$

б) Высоту трапеции $ABCD$

Решение

По условию задачи, продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Так как $AD \parallel BC$ (по свойству трапеции, основания параллельны), то треугольники $\triangle BKC$ и $\triangle AKD$ подобны. Это следует из того, что $\angle K$ является общим углом для обоих треугольников, а $\angle KBC = \angle KAD$ и $\angle KCB = \angle KDA$ как соответственные углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущих $AK$ и $DK$ соответственно.

Используем заданное соотношение $KC : CD = 1 : 3$. Пусть $KC = x$. Тогда $CD = 3x$.

Длина отрезка $KD$ равна сумме длин $KC$ и $CD$:

$KD = KC + CD = x + 3x = 4x$.

Коэффициент подобия $k$ треугольника $\triangle BKC$ к треугольнику $\triangle AKD$ равен отношению соответствующих сторон:

$k = \frac{KC}{KD} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4}$.

Следовательно, $k = \frac{BC}{AD} = \frac{BK}{AK} = \frac{1}{4}$.

а) стороны $\triangle BKC$

1. Найдем сторону $KC$.

Из соотношения $KC : CD = 1 : 3$, мы можем записать $KC = \frac{1}{3} CD$.

Подставим значение $CD = 6$ см:

$KC = \frac{1}{3} \cdot 6$ см

$KC = 2$ см

2. Найдем сторону $BC$.

Используем коэффициент подобия $k = \frac{BC}{AD} = \frac{1}{4}$:

$BC = \frac{1}{4} \cdot AD$

Подставим значение $AD = 10$ см:

$BC = \frac{1}{4} \cdot 10$ см

$BC = 2.5$ см

3. Найдем сторону $BK$.

Используем коэффициент подобия $k = \frac{BK}{AK} = \frac{1}{4}$. Заметим, что $AK = AB + BK$.

$\frac{BK}{AB + BK} = \frac{1}{4}$

Умножим обе части на $4(AB + BK)$:

$4 \cdot BK = AB + BK$

Вычтем $BK$ из обеих частей:

$3 \cdot BK = AB$

Подставим значение $AB = 4.5$ см:

$3 \cdot BK = 4.5$ см

$BK = \frac{4.5}{3}$ см

$BK = 1.5$ см

Ответ: Стороны $\triangle BKC$ равны $BK = 1.5$ см, $KC = 2$ см, $BC = 2.5$ см.

б) высоту трапеции $ABCD$

Пусть $H_{BKC}$ – высота треугольника $\triangle BKC$ из вершины $K$ на сторону $BC$. По условию, $H_{BKC} = KN = 1.2$ см.

Пусть $H_{AKD}$ – высота треугольника $\triangle AKD$ из вершины $K$ на сторону $AD$.

Так как $\triangle BKC \sim \triangle AKD$, то отношение их высот также равно коэффициенту подобия:

$\frac{H_{BKC}}{H_{AKD}} = k = \frac{1}{4}$

Подставим значение $H_{BKC} = 1.2$ см:

$\frac{1.2}{H_{AKD}} = \frac{1}{4}$

$H_{AKD} = 4 \cdot 1.2$ см

$H_{AKD} = 4.8$ см

Высота трапеции $ABCD$ (обозначим ее $h_{трапеции}$) – это расстояние между параллельными основаниями $BC$ и $AD$. Эта высота является разностью высот треугольников $\triangle AKD$ и $\triangle BKC$:

$h_{трапеции} = H_{AKD} - H_{BKC}$

$h_{трапеции} = 4.8 \text{ см} - 1.2 \text{ см}$

$h_{трапеции} = 3.6$ см

Ответ: Высота трапеции $ABCD$ равна $3.6$ см.