Номер 204, страница 95 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

204. а) На рисунке 137 показано, как можно измерить ширину $CC_1$ реки, рассматривая два подобных треугольника $ABC$ и $AB_1C_1$. Найдите $CC_1$, если $AB = 25$ м, $AB_1 = 2$ м, $AC_1 = 3$ м.

б) Постройте $\triangle ABC$ и его биссектрису $BD$. Проведите луч $AB$ и прямую $CM$, пересекающую его в точке $M$ и параллельную $BD$. Сравните отношения: 1) $\frac{AB}{AD}$ и $\frac{BC}{DC}$; 2) $\frac{AB + BC}{AB}$ и $\frac{MC}{BD}$.

Рисунок 137

а)

Дано

Треугольники $ABC$ и $AB_1C_1$ подобны.
$AB = 25$ м
$AB_1 = 2$ м
$AC_1 = 3$ м

Перевод в СИ

Все величины даны в метрах (СИ), перевод не требуется:
$AB = 25$ м
$AB_1 = 2$ м
$AC_1 = 3$ м

Найти:

Ширина реки $CC_1$

Решение

По условию, треугольники $ABC$ и $AB_1C_1$ подобны. Из подобия следует равенство отношений соответствующих сторон: $\frac{AB}{AB_1} = \frac{AC}{AC_1}$ Подставим известные значения: $\frac{25}{2} = \frac{AC}{3}$ Выразим $AC$: $AC = \frac{25 \times 3}{2} = \frac{75}{2} = 37.5$ м Ширина реки $CC_1$ представляет собой разность длин отрезков $AC$ и $AC_1$: $CC_1 = AC - AC_1$ $CC_1 = 37.5 - 3 = 34.5$ м

Ответ: $34.5$ м

б)

Решение

Построим $\triangle ABC$ и его биссектрису $BD$. Проведем луч $AB$ и прямую $CM$, пересекающую его в точке $M$ и параллельную $BD$.

1) Сравним отношения $\frac{AB}{AD}$ и $\frac{BC}{DC}$.

По теореме о биссектрисе угла треугольника, биссектриса $BD$ делит противолежащую сторону $AC$ в отношении, равном отношению двух других сторон треугольника. То есть: $\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$ Перегруппировав это равенство, получим: $\frac{AD}{AB} = \frac{DC}{BC}$ Тогда их обратные значения также равны: $\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DC}$

Ответ: Отношения равны.

2) Сравним отношения $\frac{AB+BC}{AB}$ и $\frac{MC}{BD}$.

По условию, прямая $CM$ параллельна биссектрисе $BD$ ($CM \parallel BD$), и точка $M$ лежит на луче $AB$. Это означает, что точка $B$ находится между $A$ и $M$ (или $M$ совпадает с $B$). Рассмотрим $\triangle ABD$ и $\triangle AMC$. Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников. Так как $BD \parallel MC$, то соответственные углы при секущей $AM$ равны: $\angle ABD = \angle AMC$. Также соответственные углы при секущей $AC$ равны: $\angle ADB = \angle ACM$. Следовательно, $\triangle ABD \sim \triangle AMC$ по трем углам. Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон: $\frac{AB}{AM} = \frac{BD}{MC}$ Отсюда выразим отношение $\frac{MC}{BD}$: $\frac{MC}{BD} = \frac{AM}{AB}$ Теперь рассмотрим $\triangle BCM$. Поскольку $CM \parallel BD$ и $BC$ является секущей, то накрест лежащие углы $\angle DBC$ и $\angle BCM$ равны: $\angle DBC = \angle BCM$. Также, так как $BD$ - биссектриса $\angle ABC$, то $\angle ABD = \angle DBC$. Используя свойство параллельных прямых $BD \parallel MC$ и секущей $AM$, соответственные углы $\angle ABD$ и $\angle CMB$ равны: $\angle ABD = \angle CMB$. Из этих равенств получаем: $\angle BCM = \angle DBC = \angle ABD = \angle CMB$ Таким образом, $\angle BCM = \angle CMB$. Это означает, что $\triangle BCM$ является равнобедренным треугольником с основанием $BC$. Следовательно, стороны $BC$ и $BM$ равны: $BC = BM$. Так как точка $M$ лежит на луче $AB$ за точкой $B$, то длина отрезка $AM$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BM$: $AM = AB + BM$ Подставим $BM = BC$: $AM = AB + BC$ Теперь вернемся к отношению $\frac{MC}{BD}$: $\frac{MC}{BD} = \frac{AM}{AB}$ Подставим $AM = AB + BC$: $\frac{MC}{BD} = \frac{AB+BC}{AB}$ Таким образом, оба сравниваемых отношения равны.

Ответ: Отношения равны.