Номер 200, страница 92 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

200. Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=a, BC=b$ $(a > b)$. Построить отрезок с концами на боковых сторонах трапеции и параллельный основаниям, который делит ее на две подобные трапеции.

Дано:Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = a$ и $BC = b$, где $a > b$.

В данной задаче отсутствуют числовые значения, требующие перевода в систему СИ.

Найти:Построить отрезок с концами на боковых сторонах трапеции и параллельный основаниям, который делит ее на две подобные трапеции.

Решение:

Пусть искомый отрезок $MN$ (где $M$ лежит на $AB$, а $N$ на $CD$) имеет длину $x$. Отрезок $MN$ по условию параллелен основаниям $AD$ и $BC$.Этот отрезок делит исходную трапецию $ABCD$ на две трапеции: $MBCN$ (верхняя) и $AMND$ (нижняя).

Для того чтобы две трапеции были подобны, их соответствующие углы должны быть равны, а соответствующие стороны пропорциональны.Поскольку $MN \parallel BC \parallel AD$, углы, образованные параллельными линиями и секущими (боковыми сторонами трапеции), автоматически соответствуют друг другу. Например, $\angle B = \angle BMA$ (угол при $M$ в трапеции $AMND$) и $\angle C = \angle CND$ (угол при $N$ в трапеции $AMND$).Основное условие подобия трапеций сводится к пропорциональности их соответствующих оснований и боковых сторон.Если трапеция $MBCN$ подобна трапеции $AMND$, то должно выполняться соотношение для их оснований:
$\frac{BC}{MN} = \frac{MN}{AD}$
Подставляя обозначения длин оснований:
$\frac{b}{x} = \frac{x}{a}$
Из этого уравнения находим длину $x$:
$x^2 = ab$
$x = \sqrt{ab}$
Таким образом, длина искомого отрезка должна быть равна среднему геометрическому длин оснований трапеции.

Коэффициент подобия $k$ между трапециями $MBCN$ и $AMND$ будет равен:
$k = \frac{BC}{MN} = \frac{b}{\sqrt{ab}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$
По условию подобия, это же отношение должно выполняться для соответствующих боковых сторон:
$\frac{BM}{AM} = \frac{CN}{DN} = k = \sqrt{\frac{b}{a}}$
Это означает, что точка $M$ делит боковую сторону $AB$ в отношении $BM : AM = \sqrt{b} : \sqrt{a}$, а точка $N$ делит боковую сторону $CD$ в отношении $CN : DN = \sqrt{b} : \sqrt{a}$.

**Построение:**

1. Построение отрезка длиной $x = \sqrt{ab}$ (среднее геометрическое):
На произвольной прямой $L$ отметьте точку $P_0$.
От точки $P_0$ отложите отрезок $P_0P_1 = a$.
От точки $P_1$ в том же направлении отложите отрезок $P_1P_2 = b$. Длина всего отрезка $P_0P_2$ составит $a+b$.
Найдите середину отрезка $P_0P_2$, обозначьте ее $O$.
Постройте полуокружность с центром $O$ и радиусом $OP_0$ (или $OP_2$).
Из точки $P_1$ восстановите перпендикуляр к прямой $L$ до пересечения с полуокружностью. Точку пересечения обозначьте $Q$.
Длина отрезка $P_1Q$ равна $\sqrt{ab}$. Это и есть длина искомого отрезка $x$.

2. Построение положения отрезка $MN$ (определение точек $M$ и $N$):
Для нахождения точки $M$ на боковой стороне $AB$ (и аналогично $N$ на $CD$), используем свойство деления отрезка в заданном отношении $BM : AM = \sqrt{b} : \sqrt{a}$.
Проведите через вершину $A$ вспомогательную прямую $L_{aux}$ (не совпадающую с $AB$ или $AD$).
На прямой $L_{aux}$ от точки $A$ отложите последовательно отрезки $AC_1$ и $C_1C_2$ так, чтобы $AC_1 = \sqrt{a}$ и $C_1C_2 = \sqrt{b}$ (длины $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ могут быть построены аналогично среднему геометрическому, если они не заданы).
Соедините точку $C_2$ с вершиной $B$.
Через точку $C_1$ проведите прямую, параллельную $C_2B$, до пересечения с боковой стороной $AB$. Точка пересечения будет искомой точкой $M$.
По теореме Фалеса (или теореме о пропорциональных отрезках), точка $M$ разделит $AB$ в отношении $AM : MB = AC_1 : C_1C_2 = \sqrt{a} : \sqrt{b}$. Это означает $BM : AM = \sqrt{b} : \sqrt{a}$, что соответствует необходимому условию.
Аналогично, повторите эти шаги для боковой стороны $CD$, чтобы найти точку $N$.
Наконец, соедините точки $M$ и $N$. Отрезок $MN$ является искомым.

Ответ: Отрезок, делящий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину, равную среднему геометрическому длин оснований трапеции ($x = \sqrt{ab}$), и делит боковые стороны трапеции в отношении $\sqrt{b}:\sqrt{a}$ (считая от меньшего основания к большему, т.е. $BM:AM = \sqrt{b}:\sqrt{a}$ и $CN:DN = \sqrt{b}:\sqrt{a}$). Построение выполняется в два этапа: сначала определяется длина отрезка как среднее геометрическое, затем определяются точки на боковых сторонах с использованием отношения деления.