Страница 92 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

197. Площадь $\Delta ABC$ равна 36 $\text{см}^2$. Через точку $O$, взятую на медиане $BD$, проведена прямая $MN$ ($M \in AB$, $N \in BC$), параллельная стороне $AC$. Найдите площадь $\Delta MBN$, если:

a) точка $O$ – середина медианы;

б) $O$ – точка пересечения медиан $\Delta ABC$.

Дано

$S_{\triangle ABC} = 36 \text{ см}^2$

$BD$ - медиана $\triangle ABC$

Точка $O \in BD$

Прямая $MN$ проходит через $O$, причем $M \in AB$, $N \in BC$

$MN \parallel AC$

Перевод в систему СИ:

$S_{\triangle ABC} = 36 \text{ см}^2 = 36 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 36 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

$S_{\triangle MBN}$ в двух случаях:

a) $O$ - середина $BD$

б) $O$ - точка пересечения медиан $\triangle ABC$

Решение

Так как прямая $MN$ параллельна стороне $AC$, то $\triangle MBN$ подобен $\triangle ABC$ по двум углам (угол $B$ является общим для обоих треугольников, а углы $\angle BMN$ и $\angle BAC$, а также $\angle BNM$ и $\angle BCA$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущих $AB$ и $BC$ соответственно).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$:

$\frac{S_{\triangle MBN}}{S_{\triangle ABC}} = k^2$

Коэффициент подобия $k$ для этих треугольников может быть найден как отношение соответствующих сторон, например, $k = \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC}$.

Рассмотрим медиану $BD$ треугольника $\triangle ABC$. Так как $MN \parallel AC$ и точка $O$ лежит на медиане $BD$, а также на отрезке $MN$, то отрезок $BO$ в $\triangle MBN$ соответствует медиане $BD$ в $\triangle ABC$. Таким образом, коэффициент подобия $k$ равен отношению длин отрезков медианы $BD$:

$k = \frac{BO}{BD}$

a) точка $O$ - середина медианы;

Если точка $O$ является серединой медианы $BD$, это означает, что длина отрезка $BO$ составляет половину длины всей медианы $BD$.

$BO = \frac{1}{2} BD$

Следовательно, коэффициент подобия $k$ равен:

$k = \frac{BO}{BD} = \frac{\frac{1}{2} BD}{BD} = \frac{1}{2}$

Теперь мы можем найти площадь $\triangle MBN$, используя формулу для отношения площадей подобных треугольников:

$S_{\triangle MBN} = k^2 \cdot S_{\triangle ABC}$

$S_{\triangle MBN} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 36 \text{ см}^2$

$S_{\triangle MBN} = \frac{1}{4} \cdot 36 \text{ см}^2$

$S_{\triangle MBN} = 9 \text{ см}^2$

Ответ: $S_{\triangle MBN} = 9 \text{ см}^2$

б) $O$ - точка пересечения медиан $\triangle ABC$.

Известно, что точка пересечения медиан треугольника (центроид) делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Для медианы $BD$ это означает, что $BO:OD = 2:1$.

Следовательно, длина отрезка $BO$ составляет $\frac{2}{3}$ длины всей медианы $BD$:

$BO = \frac{2}{3} BD$

Коэффициент подобия $k$ равен:

$k = \frac{BO}{BD} = \frac{\frac{2}{3} BD}{BD} = \frac{2}{3}$

Теперь вычислим площадь $\triangle MBN$:

$S_{\triangle MBN} = k^2 \cdot S_{\triangle ABC}$

$S_{\triangle MBN} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot 36 \text{ см}^2$

$S_{\triangle MBN} = \frac{4}{9} \cdot 36 \text{ см}^2$

$S_{\triangle MBN} = 4 \cdot 4 \text{ см}^2$

$S_{\triangle MBN} = 16 \text{ см}^2$

Ответ: $S_{\triangle MBN} = 16 \text{ см}^2$

198. a) В $\Delta ABC$ известно, что $AB : BC = 4 : 5$, отрезок $BK$ – его биссектриса. Найдите отношение площади $\Delta ABK$ к площади $\Delta CBK$.

б) Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на части, площади которых относятся как $4 : 5$, считая от вершины. В каком отношении она делит боковые стороны треугольника?

а)

Дано:

в треугольнике $\triangle ABC$ известно;
отрезок $BK$ – биссектриса угла $B$;
отношение сторон $AB : BC = 4 : 5$.

Найти:

отношение площади $\triangle ABK$ к площади $\triangle CBK$, то есть $S_{\triangle ABK} : S_{\triangle CBK}$.

Решение:

Площадь любого треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
Рассмотрим треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle CBK$. Они имеют общую вершину $B$, и их основания $AK$ и $KC$ лежат на одной прямой $AC$. Это означает, что высота, опущенная из вершины $B$ на прямую $AC$, является общей для обоих треугольников. Обозначим эту высоту через $h$.
Тогда площади треугольников $\triangle ABK$ и $\triangle CBK$ будут выражаться следующим образом:
$S_{\triangle ABK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot h$
$S_{\triangle CBK} = \frac{1}{2} \cdot KC \cdot h$
Найдем отношение этих площадей:
$\frac{S_{\triangle ABK}}{S_{\triangle CBK}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AK \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot KC \cdot h} = \frac{AK}{KC}$.
Согласно теореме о биссектрисе угла треугольника, биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. В нашем случае, биссектриса $BK$ делит сторону $AC$ на отрезки $AK$ и $KC$ таким образом, что:
$\frac{AK}{KC} = \frac{AB}{BC}$.
По условию задачи нам дано отношение $AB : BC = 4 : 5$.
Следовательно, $\frac{AK}{KC} = \frac{4}{5}$.
Подставляя это отношение в выражение для отношения площадей, получаем:
$\frac{S_{\triangle ABK}}{S_{\triangle CBK}} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $4 : 5$

б)

Дано:

треугольник (пусть будет $\triangle ABC$, с вершиной $A$ и основанием $BC$);
прямая, параллельная основанию $BC$, делит треугольник на две части;
площади этих частей относятся как $4 : 5$, считая от вершины.

Найти:

в каком отношении прямая делит боковые стороны треугольника.

Решение:

Пусть исходный треугольник будет $\triangle ABC$. Прямая, параллельная основанию $BC$, пересекает боковые стороны $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Таким образом, образуется меньший треугольник $\triangle ADE$ и трапеция $BCED$.
Поскольку прямая $DE$ параллельна основанию $BC$, треугольник $\triangle ADE$ подобен треугольнику $\triangle ABC$.
Известно, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, который равен отношению соответствующих сторон:
$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = \left(\frac{AD}{AB}\right)^2 = \left(\frac{AE}{AC}\right)^2$.
По условию задачи, площади частей относятся как $4 : 5$, считая от вершины. Это означает, что площадь малого треугольника $\triangle ADE$ относится к площади трапеции $BCED$ как $4 : 5$.
Пусть $S_{\triangle ADE} = 4k$ и $S_{трапеции BCED} = 5k$ для некоторого положительного числа $k$.
Тогда общая площадь исходного треугольника $\triangle ABC$ будет равна сумме площадей этих двух частей:
$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADE} + S_{трапеции BCED} = 4k + 5k = 9k$.
Теперь найдем отношение площади меньшего треугольника к площади большего треугольника:
$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{4k}{9k} = \frac{4}{9}$.
Используя свойство подобных треугольников:
$\left(\frac{AD}{AB}\right)^2 = \frac{4}{9}$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (поскольку длины отрезков положительны):
$\frac{AD}{AB} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.
Это отношение означает, что отрезок $AD$ составляет $2$ части, а вся сторона $AB$ составляет $3$ части. Следовательно, отрезок $DB$ (часть стороны от линии до основания) составляет $AB - AD = 3 - 2 = 1$ часть.
Таким образом, прямая делит боковую сторону $AB$ в отношении $AD : DB = 2 : 1$, считая от вершины.
Аналогично для другой боковой стороны $AC$:
$\left(\frac{AE}{AC}\right)^2 = \frac{4}{9}$.
$\frac{AE}{AC} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.
Следовательно, отрезок $AE$ составляет $2$ части, а вся сторона $AC$ составляет $3$ части. Значит, отрезок $EC$ составляет $AC - AE = 3 - 2 = 1$ часть.
Таким образом, прямая делит боковую сторону $AC$ в отношении $AE : EC = 2 : 1$, считая от вершины.

Ответ: $2 : 1$

199. Сторона первого квадрата составляет $1/3$ стороны второго квадрата. На сколько процентов:

a) площадь второго квадрата больше площади первого квадрата;

б) площадь первого квадрата меньше площади второго квадрата?

Дано

Сторона первого квадрата: $a_1$
Сторона второго квадрата: $a_2$
Соотношение сторон: $a_1 = \frac{1}{3} a_2$

Перевод в СИ

Поскольку задача оперирует отношениями сторон и площадей, конкретные единицы измерения не влияют на результат. Если бы стороны были заданы, например, в метрах (м), то и площади были бы в квадратных метрах ($м^2$). В данном случае, мы работаем с безразмерными отношениями.

Найти

a) На сколько процентов площадь второго квадрата больше площади первого квадрата?
б) На сколько процентов площадь первого квадрата меньше площади второго квадрата?

Решение

Обозначим площадь первого квадрата как $S_1$ и площадь второго квадрата как $S_2$.

Формула площади квадрата: $S = a^2$, где $a$ — длина стороны квадрата.

Таким образом:

$S_1 = a_1^2$

$S_2 = a_2^2$

Из условия задачи нам дано соотношение сторон: $a_1 = \frac{1}{3} a_2$.

Из этого соотношения мы можем выразить сторону второго квадрата через сторону первого: $a_2 = 3 a_1$.

Теперь подставим это выражение для $a_2$ в формулу площади второго квадрата $S_2$:

$S_2 = (3 a_1)^2$

$S_2 = 9 a_1^2$

Так как $S_1 = a_1^2$, мы можем заменить $a_1^2$ на $S_1$ в выражении для $S_2$:

$S_2 = 9 S_1$

Это означает, что площадь второго квадрата в 9 раз больше площади первого квадрата.

a) площадь второго квадрата больше площади первого квадрата?

Чтобы определить, на сколько процентов площадь второго квадрата ($S_2$) больше площади первого квадрата ($S_1$), мы используем формулу процентного увеличения, где за базу берется $S_1$:

Процентное увеличение $= \frac{S_2 - S_1}{S_1} \times 100\%$

Подставляем $S_2 = 9 S_1$:

Процентное увеличение $= \frac{9 S_1 - S_1}{S_1} \times 100\%$

Процентное увеличение $= \frac{8 S_1}{S_1} \times 100\%$

Процентное увеличение $= 8 \times 100\%$

Процентное увеличение $= 800\%$

Ответ: 800%

б) площадь первого квадрата меньше площади второго квадрата?

Чтобы определить, на сколько процентов площадь первого квадрата ($S_1$) меньше площади второго квадрата ($S_2$), мы используем формулу процентного уменьшения, где за базу берется $S_2$:

Процентное уменьшение $= \frac{S_2 - S_1}{S_2} \times 100\%$

Подставляем $S_2 = 9 S_1$:

Процентное уменьшение $= \frac{9 S_1 - S_1}{9 S_1} \times 100\%$

Процентное уменьшение $= \frac{8 S_1}{9 S_1} \times 100\%$

Процентное уменьшение $= \frac{8}{9} \times 100\%$

Вычислим значение дроби: $\frac{8}{9} \approx 0.8888...$

Процентное уменьшение $\approx 0.8888... \times 100\%$

Процентное уменьшение $\approx 88.89\%$

Точное значение можно выразить в виде смешанной дроби: $\frac{800}{9}\% = 88 \frac{8}{9}\%$.

Ответ: $88 \frac{8}{9}\%$ или приблизительно 88.89%

200. Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=a, BC=b$ $(a > b)$. Построить отрезок с концами на боковых сторонах трапеции и параллельный основаниям, который делит ее на две подобные трапеции.

Дано:Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = a$ и $BC = b$, где $a > b$.

В данной задаче отсутствуют числовые значения, требующие перевода в систему СИ.

Найти:Построить отрезок с концами на боковых сторонах трапеции и параллельный основаниям, который делит ее на две подобные трапеции.

Решение:

Пусть искомый отрезок $MN$ (где $M$ лежит на $AB$, а $N$ на $CD$) имеет длину $x$. Отрезок $MN$ по условию параллелен основаниям $AD$ и $BC$.Этот отрезок делит исходную трапецию $ABCD$ на две трапеции: $MBCN$ (верхняя) и $AMND$ (нижняя).

Для того чтобы две трапеции были подобны, их соответствующие углы должны быть равны, а соответствующие стороны пропорциональны.Поскольку $MN \parallel BC \parallel AD$, углы, образованные параллельными линиями и секущими (боковыми сторонами трапеции), автоматически соответствуют друг другу. Например, $\angle B = \angle BMA$ (угол при $M$ в трапеции $AMND$) и $\angle C = \angle CND$ (угол при $N$ в трапеции $AMND$).Основное условие подобия трапеций сводится к пропорциональности их соответствующих оснований и боковых сторон.Если трапеция $MBCN$ подобна трапеции $AMND$, то должно выполняться соотношение для их оснований:
$\frac{BC}{MN} = \frac{MN}{AD}$
Подставляя обозначения длин оснований:
$\frac{b}{x} = \frac{x}{a}$
Из этого уравнения находим длину $x$:
$x^2 = ab$
$x = \sqrt{ab}$
Таким образом, длина искомого отрезка должна быть равна среднему геометрическому длин оснований трапеции.

Коэффициент подобия $k$ между трапециями $MBCN$ и $AMND$ будет равен:
$k = \frac{BC}{MN} = \frac{b}{\sqrt{ab}} = \sqrt{\frac{b}{a}}$
По условию подобия, это же отношение должно выполняться для соответствующих боковых сторон:
$\frac{BM}{AM} = \frac{CN}{DN} = k = \sqrt{\frac{b}{a}}$
Это означает, что точка $M$ делит боковую сторону $AB$ в отношении $BM : AM = \sqrt{b} : \sqrt{a}$, а точка $N$ делит боковую сторону $CD$ в отношении $CN : DN = \sqrt{b} : \sqrt{a}$.

**Построение:**

1. Построение отрезка длиной $x = \sqrt{ab}$ (среднее геометрическое):
На произвольной прямой $L$ отметьте точку $P_0$.
От точки $P_0$ отложите отрезок $P_0P_1 = a$.
От точки $P_1$ в том же направлении отложите отрезок $P_1P_2 = b$. Длина всего отрезка $P_0P_2$ составит $a+b$.
Найдите середину отрезка $P_0P_2$, обозначьте ее $O$.
Постройте полуокружность с центром $O$ и радиусом $OP_0$ (или $OP_2$).
Из точки $P_1$ восстановите перпендикуляр к прямой $L$ до пересечения с полуокружностью. Точку пересечения обозначьте $Q$.
Длина отрезка $P_1Q$ равна $\sqrt{ab}$. Это и есть длина искомого отрезка $x$.

2. Построение положения отрезка $MN$ (определение точек $M$ и $N$):
Для нахождения точки $M$ на боковой стороне $AB$ (и аналогично $N$ на $CD$), используем свойство деления отрезка в заданном отношении $BM : AM = \sqrt{b} : \sqrt{a}$.
Проведите через вершину $A$ вспомогательную прямую $L_{aux}$ (не совпадающую с $AB$ или $AD$).
На прямой $L_{aux}$ от точки $A$ отложите последовательно отрезки $AC_1$ и $C_1C_2$ так, чтобы $AC_1 = \sqrt{a}$ и $C_1C_2 = \sqrt{b}$ (длины $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ могут быть построены аналогично среднему геометрическому, если они не заданы).
Соедините точку $C_2$ с вершиной $B$.
Через точку $C_1$ проведите прямую, параллельную $C_2B$, до пересечения с боковой стороной $AB$. Точка пересечения будет искомой точкой $M$.
По теореме Фалеса (или теореме о пропорциональных отрезках), точка $M$ разделит $AB$ в отношении $AM : MB = AC_1 : C_1C_2 = \sqrt{a} : \sqrt{b}$. Это означает $BM : AM = \sqrt{b} : \sqrt{a}$, что соответствует необходимому условию.
Аналогично, повторите эти шаги для боковой стороны $CD$, чтобы найти точку $N$.
Наконец, соедините точки $M$ и $N$. Отрезок $MN$ является искомым.

Ответ: Отрезок, делящий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину, равную среднему геометрическому длин оснований трапеции ($x = \sqrt{ab}$), и делит боковые стороны трапеции в отношении $\sqrt{b}:\sqrt{a}$ (считая от меньшего основания к большему, т.е. $BM:AM = \sqrt{b}:\sqrt{a}$ и $CN:DN = \sqrt{b}:\sqrt{a}$). Построение выполняется в два этапа: сначала определяется длина отрезка как среднее геометрическое, затем определяются точки на боковых сторонах с использованием отношения деления.