Номер 197, страница 92 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

197. Площадь $\Delta ABC$ равна 36 $\text{см}^2$. Через точку $O$, взятую на медиане $BD$, проведена прямая $MN$ ($M \in AB$, $N \in BC$), параллельная стороне $AC$. Найдите площадь $\Delta MBN$, если:

a) точка $O$ – середина медианы;

б) $O$ – точка пересечения медиан $\Delta ABC$.

Дано

$S_{\triangle ABC} = 36 \text{ см}^2$

$BD$ - медиана $\triangle ABC$

Точка $O \in BD$

Прямая $MN$ проходит через $O$, причем $M \in AB$, $N \in BC$

$MN \parallel AC$

Перевод в систему СИ:

$S_{\triangle ABC} = 36 \text{ см}^2 = 36 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 36 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Найти:

$S_{\triangle MBN}$ в двух случаях:

a) $O$ - середина $BD$

б) $O$ - точка пересечения медиан $\triangle ABC$

Решение

Так как прямая $MN$ параллельна стороне $AC$, то $\triangle MBN$ подобен $\triangle ABC$ по двум углам (угол $B$ является общим для обоих треугольников, а углы $\angle BMN$ и $\angle BAC$, а также $\angle BNM$ и $\angle BCA$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущих $AB$ и $BC$ соответственно).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$:

$\frac{S_{\triangle MBN}}{S_{\triangle ABC}} = k^2$

Коэффициент подобия $k$ для этих треугольников может быть найден как отношение соответствующих сторон, например, $k = \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC}$.

Рассмотрим медиану $BD$ треугольника $\triangle ABC$. Так как $MN \parallel AC$ и точка $O$ лежит на медиане $BD$, а также на отрезке $MN$, то отрезок $BO$ в $\triangle MBN$ соответствует медиане $BD$ в $\triangle ABC$. Таким образом, коэффициент подобия $k$ равен отношению длин отрезков медианы $BD$:

$k = \frac{BO}{BD}$

a) точка $O$ - середина медианы;

Если точка $O$ является серединой медианы $BD$, это означает, что длина отрезка $BO$ составляет половину длины всей медианы $BD$.

$BO = \frac{1}{2} BD$

Следовательно, коэффициент подобия $k$ равен:

$k = \frac{BO}{BD} = \frac{\frac{1}{2} BD}{BD} = \frac{1}{2}$

Теперь мы можем найти площадь $\triangle MBN$, используя формулу для отношения площадей подобных треугольников:

$S_{\triangle MBN} = k^2 \cdot S_{\triangle ABC}$

$S_{\triangle MBN} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 36 \text{ см}^2$

$S_{\triangle MBN} = \frac{1}{4} \cdot 36 \text{ см}^2$

$S_{\triangle MBN} = 9 \text{ см}^2$

Ответ: $S_{\triangle MBN} = 9 \text{ см}^2$

б) $O$ - точка пересечения медиан $\triangle ABC$.

Известно, что точка пересечения медиан треугольника (центроид) делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Для медианы $BD$ это означает, что $BO:OD = 2:1$.

Следовательно, длина отрезка $BO$ составляет $\frac{2}{3}$ длины всей медианы $BD$:

$BO = \frac{2}{3} BD$

Коэффициент подобия $k$ равен:

$k = \frac{BO}{BD} = \frac{\frac{2}{3} BD}{BD} = \frac{2}{3}$

Теперь вычислим площадь $\triangle MBN$:

$S_{\triangle MBN} = k^2 \cdot S_{\triangle ABC}$

$S_{\triangle MBN} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot 36 \text{ см}^2$

$S_{\triangle MBN} = \frac{4}{9} \cdot 36 \text{ см}^2$

$S_{\triangle MBN} = 4 \cdot 4 \text{ см}^2$

$S_{\triangle MBN} = 16 \text{ см}^2$

Ответ: $S_{\triangle MBN} = 16 \text{ см}^2$