Номер 196, страница 91 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

196. a) Найтите периметр равностороннего треугольника, площадь которого вдвое больше, чем площадь равностороннего треугольника со стороной, равной 10 см.

б) Найтите площадь и периметр верхней части (выделена синим цветом) боковой грани Дворца Мира и Согласия (рисунок 131), если грань является равнобедренным треугольником с основанием 62 м и боковой стороной $31\sqrt{6}$ м.

Рисунок 131

а) Найдите периметр равностороннего треугольника, площадь которого вдвое больше, чем площадь равностороннего треугольника со стороной, равной 10 см.

Дано:

Сторона первого равностороннего треугольника: $a_1 = 10 \text{ см}$.

Площадь второго равностороннего треугольника $S_2$ в 2 раза больше площади первого равностороннего треугольника $S_1$: $S_2 = 2S_1$.

Перевод в СИ:

$a_1 = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$.

Найти:

Периметр второго равностороннего треугольника $P_2$.

Решение:

1. Найдем площадь первого равностороннего треугольника $S_1$.

Формула площади равностороннего треугольника со стороной $a$ есть $S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$.

$S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (10 \text{ см})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 100 \text{ см}^2 = 25\sqrt{3} \text{ см}^2$.

2. Найдем площадь второго равностороннего треугольника $S_2$.

$S_2 = 2S_1 = 2 \cdot 25\sqrt{3} \text{ см}^2 = 50\sqrt{3} \text{ см}^2$.

3. Найдем сторону $a_2$ второго равностороннего треугольника.

$S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4}a_2^2$

$50\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4}a_2^2$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$50 = \frac{1}{4}a_2^2$

$a_2^2 = 50 \cdot 4 = 200$

$a_2 = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$ см.

4. Найдем периметр второго равностороннего треугольника $P_2$.

Периметр равностороннего треугольника со стороной $a$ есть $P = 3a$.

$P_2 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot 10\sqrt{2} \text{ см} = 30\sqrt{2}$ см.

Ответ: $30\sqrt{2}$ см.

б) Найдите площадь и периметр верхней части (выделена синим цветом) боковой грани Дворца Мира и Согласия (рисунок 131), если грань является равнобедренным треугольником с основанием 62 м и боковой стороной $31\sqrt{6}$ м.

Примечание: Поскольку на предоставленном изображении отсутствуют выделенные синим цветом области, и не дано никаких дополнительных параметров для определения "верхней части", задача решается для всей боковой грани, являющейся равнобедренным треугольником с указанными размерами.

Дано:

Треугольник равнобедренный.

Основание $b = 62 \text{ м}$.

Боковая сторона $c = 31\sqrt{6} \text{ м}$.

Перевод в СИ:

Все данные уже в СИ.

Найти:

Площадь $S$ и периметр $P$ равнобедренного треугольника.

Решение:

1. Найдем периметр $P$ равнобедренного треугольника.

Формула периметра равнобедренного треугольника: $P = b + 2c$.

$P = 62 \text{ м} + 2 \cdot 31\sqrt{6} \text{ м} = 62 + 62\sqrt{6} \text{ м}$.

$P = 62(1 + \sqrt{6})$ м.

2. Найдем высоту $h$ равнобедренного треугольника, опущенную на основание.

В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, делит основание пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, половиной основания и высотой.

Катеты: $h$ и $b/2$. Гипотенуза: $c$.

$b/2 = 62 / 2 = 31 \text{ м}$.

По теореме Пифагора: $h^2 + (b/2)^2 = c^2$.

$h^2 = c^2 - (b/2)^2$

$h^2 = (31\sqrt{6})^2 - (31)^2$

$h^2 = 31^2 \cdot (\sqrt{6})^2 - 31^2 \cdot 1$

$h^2 = 31^2 \cdot 6 - 31^2$

$h^2 = 31^2 (6 - 1)$

$h^2 = 31^2 \cdot 5$

$h = \sqrt{31^2 \cdot 5} = 31\sqrt{5}$ м.

3. Найдем площадь $S$ равнобедренного треугольника.

Формула площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$

$S = \frac{1}{2} \cdot 62 \text{ м} \cdot 31\sqrt{5} \text{ м}$

$S = 31 \cdot 31\sqrt{5} \text{ м}^2$

$S = 961\sqrt{5}$ м$^2$.

Ответ: Периметр $62(1 + \sqrt{6})$ м, Площадь $961\sqrt{5}$ м$^2$.