Номер 192, страница 91 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

192.

a) В двух подобных многоугольниках меньшие стороны 35 см и 21 см, а разность их периметров 40 см. Найдите периметр каждого многоугольника.

б) Периметр одного многоугольника составляет $\frac{11}{13}$ периметра подобного ему многоугольника. Разность двух соответственных сторон этих многоугольников равна 4 см. Найдите эти стороны.

Дано:

Два подобных многоугольника.
Меньшая сторона первого многоугольника: $a_1 = 35$ см.
Меньшая сторона второго многоугольника: $a_2 = 21$ см.
Разность периметров: $P_1 - P_2 = 40$ см (где $P_1$ - периметр многоугольника со стороной $a_1$, $P_2$ - периметр многоугольника со стороной $a_2$).

Перевод в систему СИ:
$a_1 = 35 \text{ см} = 0.35 \text{ м}$
$a_2 = 21 \text{ см} = 0.21 \text{ м}$
$P_1 - P_2 = 40 \text{ см} = 0.40 \text{ м}$
(Для данной задачи вычисления удобнее производить в сантиметрах, так как коэффициенты остаются неизменными).

Найти:

$P_1$, $P_2$

Решение:

Для подобных многоугольников отношение соответствующих сторон равно отношению их периметров. Коэффициент подобия $k$ можно найти как отношение данных сторон: $k = \frac{a_1}{a_2} = \frac{35}{21} = \frac{5}{3}$.
Тогда отношение периметров будет равно коэффициенту подобия: $\frac{P_1}{P_2} = k = \frac{5}{3}$.
Выразим $P_1$ через $P_2$: $P_1 = \frac{5}{3} P_2$.
Нам дана разность периметров: $P_1 - P_2 = 40$.
Подставим выражение для $P_1$ в это уравнение: $\frac{5}{3} P_2 - P_2 = 40$.
$\left(\frac{5}{3} - 1\right) P_2 = 40$.
$\left(\frac{5}{3} - \frac{3}{3}\right) P_2 = 40$.
$\frac{2}{3} P_2 = 40$.
$P_2 = 40 \cdot \frac{3}{2}$.
$P_2 = 20 \cdot 3$.
$P_2 = 60$ см.
Теперь найдем $P_1$: $P_1 = P_2 + 40$.
$P_1 = 60 + 40$.
$P_1 = 100$ см.

Ответ:
а) Периметр первого многоугольника 100 см, периметр второго многоугольника 60 см.

Дано:

Два подобных многоугольника.
Периметр одного многоугольника $P_1$ составляет $\frac{11}{13}$ периметра подобного ему многоугольника $P_2$: $P_1 = \frac{11}{13} P_2$.
Разность двух соответствующих сторон: $a_2 - a_1 = 4$ см (где $a_1$ - сторона, соответствующая $P_1$, $a_2$ - сторона, соответствующая $P_2$; так как $P_1 < P_2$, то $a_1 < a_2$).

Перевод в систему СИ:
$P_1 = \frac{11}{13} P_2$
$a_2 - a_1 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
(Для данной задачи вычисления удобнее производить в сантиметрах, так как коэффициенты остаются неизменными).

Найти:

$a_1$, $a_2$

Решение:

Для подобных многоугольников отношение периметров равно отношению соответствующих сторон. Коэффициент подобия $k$ равен: $k = \frac{P_1}{P_2} = \frac{11}{13}$.
Тогда отношение соответствующих сторон будет: $\frac{a_1}{a_2} = k = \frac{11}{13}$.
Выразим $a_1$ через $a_2$: $a_1 = \frac{11}{13} a_2$.
Нам дана разность сторон: $a_2 - a_1 = 4$.
Подставим выражение для $a_1$ в это уравнение: $a_2 - \frac{11}{13} a_2 = 4$.
$\left(1 - \frac{11}{13}\right) a_2 = 4$.
$\left(\frac{13}{13} - \frac{11}{13}\right) a_2 = 4$.
$\frac{2}{13} a_2 = 4$.
$a_2 = 4 \cdot \frac{13}{2}$.
$a_2 = 2 \cdot 13$.
$a_2 = 26$ см.
Теперь найдем $a_1$: $a_1 = a_2 - 4$.
$a_1 = 26 - 4$.
$a_1 = 22$ см.

Ответ:
б) Меньшая сторона 22 см, большая сторона 26 см.