Номер 189, страница 86 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

189. В подобных треугольниках соответственные стороны $a$ и $a_1$ и высоты, проведенные к этим сторонам, $h$ и $h_1$ соответственно. Известно, что $h + h_1 = 3,6$ см, $a_1 = 3,2$ см и $\frac{a_1}{a} = 2$. Найдите площади этих треугольников.

Дано:

Подобные треугольники.

Стороны: $a$, $a_1$

Высоты, проведенные к этим сторонам: $h$, $h_1$

$h + h_1 = 3,6 \text{ см}$

$a_1 = 3,2 \text{ см}$

$\frac{a_1}{a} = 2$

Перевод в СИ:

$h + h_1 = 3,6 \text{ см} = 0,036 \text{ м}$

$a_1 = 3,2 \text{ см} = 0,032 \text{ м}$

Найти:

Площадь первого треугольника $S$

Площадь второго треугольника $S_1$

Решение:

Поскольку треугольники подобны, отношение их соответственных сторон равно отношению их соответственных высот. Коэффициент подобия $k$ равен:

$k = \frac{a_1}{a} = \frac{h_1}{h}$

Нам дано, что $\frac{a_1}{a} = 2$. Следовательно, коэффициент подобия $k = 2$.

Из равенства $\frac{h_1}{h} = k$ получаем $\frac{h_1}{h} = 2$, откуда $h_1 = 2h$.

Нам также дано, что $h + h_1 = 3,6 \text{ см}$. Подставим выражение для $h_1$ в это уравнение:

$h + 2h = 3,6 \text{ см}$

$3h = 3,6 \text{ см}$

$h = \frac{3,6}{3} \text{ см}$

$h = 1,2 \text{ см}$

Теперь найдем $h_1$:

$h_1 = 2h = 2 \times 1,2 \text{ см}$

$h_1 = 2,4 \text{ см}$

Теперь найдем сторону $a$. Из отношения $\frac{a_1}{a} = 2$ и известного значения $a_1 = 3,2 \text{ см}$:

$\frac{3,2 \text{ см}}{a} = 2$

$a = \frac{3,2 \text{ см}}{2}$

$a = 1,6 \text{ см}$

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Для первого треугольника с основанием $a$ и высотой $h$:

$S = \frac{1}{2} a h$

$S = \frac{1}{2} \times 1,6 \text{ см} \times 1,2 \text{ см}$

$S = 0,8 \text{ см} \times 1,2 \text{ см}$

$S = 0,96 \text{ см}^2$

Для второго треугольника с основанием $a_1$ и высотой $h_1$:

$S_1 = \frac{1}{2} a_1 h_1$

$S_1 = \frac{1}{2} \times 3,2 \text{ см} \times 2,4 \text{ см}$

$S_1 = 1,6 \text{ см} \times 2,4 \text{ см}$

$S_1 = 3,84 \text{ см}^2$

Ответ:

Площадь первого треугольника $S = 0,96 \text{ см}^2$. Площадь второго треугольника $S_1 = 3,84 \text{ см}^2$.