Номер 190, страница 86 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

190. Из вершины $C$ прямого угла $\triangle ABC$ проведена высота $CD$ и

в треугольники $ACD$ и $BCD$ вписаны окружности, радиусы ко-

торых равны соответственно $r_1$ и $r_2$. Найдите $r_1$, если $r_2 = 2$ см,

$BD = 5$ см, $CD = 12$ см.

Дано:

$\Delta ABC$ — прямоугольный треугольник, $\angle C = 90^\circ$.$CD$ — высота, проведенная к гипотенузе $AB$.$r_1$ — радиус окружности, вписанной в $\Delta ACD$.$r_2$ — радиус окружности, вписанной в $\Delta BCD$.$r_2 = 2$ см.$BD = 5$ см.$CD = 12$ см.

Перевод в СИ:

Все данные представлены в сантиметрах, что является общепринятой единицей измерения длины в подобных геометрических задачах. Перевод в метры не требуется, так как все величины однородны. Результат также будет получен в сантиметрах.

Найти:

$r_1$

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta BCD$. Его катеты $BD = 5$ см и $CD = 12$ см. Используем теорему Пифагора для нахождения гипотенузы $BC$: $BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.
Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник вычисляется по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза. Для $\Delta BCD$: $r_2 = \frac{BD + CD - BC}{2} = \frac{5 + 12 - 13}{2} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см. Это значение совпадает с данным в условии, что подтверждает правильность расчетов сторон $\Delta BCD$.
Треугольники $\Delta ACD$ и $\Delta BCD$ подобны. Это следует из того, что оба они прямоугольные ($\angle ADC = \angle CDB = 90^\circ$), и $\angle A = 90^\circ - \angle B$, а также $\angle BCD = 90^\circ - \angle B$. Следовательно, $\angle A = \angle BCD$. Таким образом, $\Delta ACD \sim \Delta BCD$ по двум углам.
Отношение радиусов вписанных окружностей в подобных треугольниках равно коэффициенту подобия. Коэффициент подобия $k$ между $\Delta ACD$ и $\Delta BCD$ можно найти как отношение соответствующих сторон. Сторона $CD$ в $\Delta ACD$ соответствует стороне $BD$ в $\Delta BCD$, так как они лежат напротив равных углов ($\angle A$ и $\angle BCD$ соответственно). Следовательно, $k = \frac{CD}{BD}$.
$k = \frac{12}{5}$.
Так как $\frac{r_1}{r_2} = k$, то $r_1 = k \cdot r_2$. $r_1 = \frac{12}{5} \cdot 2 = \frac{24}{5} = 4.8$ см.

Ответ:

$r_1 = 4.8$ см.