Номер 188, страница 86 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

188. Постройте треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, имеющие следующие координаты вершин:

a) $A(3; 2)$, $B(1; 3)$, $C(3; 6)$, $A_1(3; -2)$, $B_1(1; -3)$, $C_1(3; -6)$;

б) $A(1; -3)$, $B(5; -1)$, $C(1; 5)$, $A_1(-2; 1)$, $B_1(-4; 2)$, $C_1(-2; 5)$. Подобны ли эти треугольники? Ответ объясните.

Дано:

Координаты вершин треугольников.

Найти:

Построить треугольники. Определить, подобны ли они, и объяснить ответ.

Решение

а)

Дано:

Треугольник ABC: $A(3; 2)$, $B(1; 3)$, $C(3; 6)$

Треугольник $A_1B_1C_1$: $A_1(3; -2)$, $B_1(1; -3)$, $C_1(3; -6)$

Найти:

1. Построить треугольники ABC и $A_1B_1C_1$.

2. Подобны ли треугольники ABC и $A_1B_1C_1$? Объяснить.

Решение:

1. Для построения треугольников на координатной плоскости необходимо отметить заданные вершины и соединить их отрезками. Для треугольника ABC это точки $A(3; 2)$, $B(1; 3)$, $C(3; 6)$. Для треугольника $A_1B_1C_1$ это точки $A_1(3; -2)$, $B_1(1; -3)$, $C_1(3; -6)$.

2. Для определения подобия треугольников найдем длины их сторон, используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Длины сторон треугольника ABC:

$AB = \sqrt{(1-3)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

$BC = \sqrt{(3-1)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

$CA = \sqrt{(3-3)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{0 + 16} = \sqrt{16} = 4$

Длины сторон треугольника $A_1B_1C_1$:

$A_1B_1 = \sqrt{(1-3)^2 + (-3-(-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

$B_1C_1 = \sqrt{(3-1)^2 + (-6-(-3))^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

$C_1A_1 = \sqrt{(3-3)^2 + (-2-(-6))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 16} = \sqrt{16} = 4$

Сравним отношения соответствующих сторон:

$AB / A_1B_1 = \sqrt{5} / \sqrt{5} = 1$

$BC / B_1C_1 = \sqrt{13} / \sqrt{13} = 1$

$CA / C_1A_1 = 4 / 4 = 1$

Так как отношения всех соответствующих сторон равны 1, треугольники подобны (и даже равны). Это означает, что один треугольник является результатом преобразования другого (в данном случае, симметрии относительно оси Ox).

Ответ: Треугольники ABC и $A_1B_1C_1$ подобны.

б)

Дано:

Треугольник ABC: $A(1; -3)$, $B(5; -1)$, $C(1; 5)$

Треугольник $A_1B_1C_1$: $A_1(-2; 1)$, $B_1(-4; 2)$, $C_1(-2; 5)$

Найти:

1. Построить треугольники ABC и $A_1B_1C_1$.

2. Подобны ли треугольники ABC и $A_1B_1C_1$? Объяснить.

Решение:

1. Для построения треугольников на координатной плоскости необходимо отметить заданные вершины и соединить их отрезками. Для треугольника ABC это точки $A(1; -3)$, $B(5; -1)$, $C(1; 5)$. Для треугольника $A_1B_1C_1$ это точки $A_1(-2; 1)$, $B_1(-4; 2)$, $C_1(-2; 5)$.

2. Для определения подобия треугольников найдем длины их сторон, используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Длины сторон треугольника ABC:

$AB = \sqrt{(5-1)^2 + (-1-(-3))^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$BC = \sqrt{(1-5)^2 + (5-(-1))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

$CA = \sqrt{(1-1)^2 + (5-(-3))^2} = \sqrt{0^2 + 8^2} = \sqrt{0 + 64} = \sqrt{64} = 8$

Длины сторон треугольника $A_1B_1C_1$:

$A_1B_1 = \sqrt{(-4-(-2))^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

$B_1C_1 = \sqrt{(-2-(-4))^2 + (5-2)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

$C_1A_1 = \sqrt{(-2-(-2))^2 + (1-5)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{0 + 16} = \sqrt{16} = 4$

Сравним отношения соответствующих сторон (предполагаем, что стороны соответствуют друг другу по длине: наименьшая к наименьшей, средняя к средней, наибольшая к наибольшей):

$AB / A_1B_1 = (2\sqrt{5}) / \sqrt{5} = 2$

$BC / B_1C_1 = (2\sqrt{13}) / \sqrt{13} = 2$

$CA / C_1A_1 = 8 / 4 = 2$

Так как отношения всех соответствующих сторон равны 2, треугольники подобны по признаку подобия по трем сторонам (отношение сторон $k=2$).

Ответ: Треугольники ABC и $A_1B_1C_1$ подобны.