Номер 181, страница 85 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

181. В прямоугольный $\triangle ABC$ с катетами 12 см и 6 см вписан квадрат $CDNK$, имеющий с треугольником общий прямой угол $C$, а точка $N$ лежит на гипотенузе. Найдите периметр квадрата.

Дано:

Прямоугольный треугольник $ABC$.

Катеты $AC = 12$ см, $BC = 6$ см.

Вписан квадрат $CDNK$ с общим прямым углом $C$ с треугольником $ABC$.

Точка $N$ лежит на гипотенузе $AB$.

Перевод в СИ:

$AC = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$BC = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Периметр квадрата $P_{CDNK}$.

Решение:

Пусть сторона квадрата $CDNK$ равна $x$.

Так как квадрат $CDNK$ имеет общий прямой угол $C$ с треугольником $ABC$, то вершины $D$ и $K$ квадрата лежат на катетах $AC$ и $BC$ соответственно. Следовательно, длины отрезков $CD$ и $CK$ равны стороне квадрата $x$.

$CD = x$

$CK = x$

Точка $D$ лежит на катете $AC$. Тогда длина отрезка $AD$ будет равна $AC - CD = 12 - x$.

Сторона $DN$ квадрата параллельна катету $BC$, поскольку обе эти линии перпендикулярны катету $AC$. Таким образом, треугольник $ADN$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $D$ ($DN \perp AC$).

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADN$.

Эти треугольники подобны по двум углам (критерий AA подобия):

1. Угол $A$ является общим для обоих треугольников.

2. Угол $ADN$ равен $90^\circ$ (так как $DN \perp AC$), и угол $ACB$ также равен $90^\circ$ (по условию).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{\text{сторона, противолежащая } \angle A \text{ в } \triangle ADN}{\text{сторона, противолежащая } \angle A \text{ в } \triangle ABC} = \frac{\text{катет при } \angle A \text{ в } \triangle ADN}{\text{катет при } \angle A \text{ в } \triangle ABC}$

Что в нашем случае означает:

$\frac{DN}{BC} = \frac{AD}{AC}$

Подставим известные значения: $DN = x$, $BC = 6$, $AD = 12 - x$, $AC = 12$.

$\frac{x}{6} = \frac{12 - x}{12}$

Для решения этого уравнения умножим обе части на $12$ (наименьшее общее кратное знаменателей):

$12 \cdot \frac{x}{6} = 12 \cdot \frac{12 - x}{12}$

$2x = 12 - x$

Прибавим $x$ к обеим частям уравнения:

$2x + x = 12$

$3x = 12$

Разделим обе части на $3$:

$x = \frac{12}{3}$

$x = 4 \text{ см}$

Таким образом, сторона квадрата равна $4$ см.

Периметр квадрата $P_{CDNK}$ вычисляется по формуле $P = 4 \times \text{сторона}$:

$P = 4 \cdot x = 4 \cdot 4 = 16 \text{ см}$

Ответ:

Периметр квадрата равен $16$ см.