Страница 85 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

177. У двух равнобедренных треугольников углы между боковыми сторонами равны. Боковая сторона и основание одного треугольника равны 36 см и 24 см; основание другого равно 16 см. Найдите его боковую сторону.

Дано:

Треугольник 1:

Боковая сторона: $a_1 = 36 \text{ см}$

Основание: $b_1 = 24 \text{ см}$

Треугольник 2:

Основание: $b_2 = 16 \text{ см}$

Углы между боковыми сторонами у обоих равнобедренных треугольников равны.

Перевод в СИ:

$a_1 = 36 \text{ см} = 0.36 \text{ м}$

$b_1 = 24 \text{ см} = 0.24 \text{ м}$

$b_2 = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

Найти:

Боковая сторона второго треугольника: $a_2$

Решение:

По условию задачи, оба треугольника являются равнобедренными и углы между их боковыми сторонами (углы при вершине) равны. В равнобедренном треугольнике углы при основании вычисляются по формуле $ \frac{180^\circ - \text{угол при вершине}}{2} $. Поскольку углы при вершине у двух данных равнобедренных треугольников равны, то и углы при основании у них будут равны. Таким образом, все соответствующие углы этих двух треугольников равны, что является признаком подобия треугольников (по двум углам).

Из подобия треугольников следует, что отношение соответствующих сторон равно. Мы можем составить пропорцию, сравнивая боковую сторону одного треугольника с боковой стороной другого, и основание одного треугольника с основанием другого:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$

Подставим известные значения из условия задачи в эту пропорцию:

$\frac{36}{a_2} = \frac{24}{16}$

Для нахождения неизвестной боковой стороны $a_2$ выразим её из пропорции:

$a_2 = \frac{36 \cdot 16}{24}$

Выполним сокращение дроби $\frac{16}{24}$. Оба числа делятся на 8:

$\frac{16}{24} = \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{2}{3}$

Теперь подставим это упрощенное отношение обратно в выражение для $a_2$:

$a_2 = 36 \cdot \frac{2}{3}$

Вычислим значение $a_2$:

$a_2 = \frac{36}{3} \cdot 2 = 12 \cdot 2 = 24$

Таким образом, боковая сторона второго треугольника равна 24 см.

Ответ:

24 см

178. a) Диагонали $AC$ и $BD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите основания трапеции, если ее средняя линия равна 24 см, а $AO : CO = 3 : 1$.

б) Диагональ $AC$ трапеции $ABCD$, равная 6 м, делит ее на два подобных треугольника. Найдите меньшее основание трапеции $BC$, если ее большее основание равно 12 м.

а)

Дано:

трапеция $ABCD$, $AD \parallel BC$

диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$

средняя линия $m = 24$ см

отношение $AO : CO = 3 : 1$

Перевод в СИ:

$m = 24$ см $= 0.24$ м

Найти:

основания $AD$ и $BC$

Решение:

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$.

Так как $AD \parallel BC$, то $\angle DAO = \angle BCO$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD, BC$ и секущей $AC$) и $\angle ADO = \angle CBO$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD, BC$ и секущей $BD$).

Углы $\angle AOD$ и $\angle COB$ являются вертикальными, следовательно, они равны.

Таким образом, треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$ подобны по трем углам (по первому признаку подобия).

Из подобия треугольников следует равенство отношений соответствующих сторон:

$\frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{BC}$

По условию задачи, $AO : CO = 3 : 1$, следовательно, коэффициент подобия равен $k = 3$.

Значит, $\frac{AD}{BC} = 3$, откуда $AD = 3 \cdot BC$.

Формула для средней линии трапеции: $m = \frac{AD + BC}{2}$.

Подставим известные значения в формулу средней линии:

$24 = \frac{AD + BC}{2}$

$AD + BC = 24 \cdot 2$

$AD + BC = 48$

Теперь подставим выражение для $AD$ из отношения подобия ($AD = 3 \cdot BC$) в уравнение средней линии:

$3 \cdot BC + BC = 48$

$4 \cdot BC = 48$

$BC = \frac{48}{4}$

$BC = 12$ см

Теперь найдем $AD$:

$AD = 3 \cdot BC = 3 \cdot 12 = 36$ см

Ответ: $AD = 36$ см, $BC = 12$ см.

б)

Дано:

трапеция $ABCD$, $AD \parallel BC$

диагональ $AC = 6$ м

диагональ $AC$ делит трапецию на два подобных треугольника

большее основание $AD = 12$ м

Найти:

меньшее основание $BC$

Решение:

Если диагональ трапеции делит ее на два подобных треугольника, то эти треугольники, как правило, $\triangle ABC$ и $\triangle DCA$.

Так как $AD \parallel BC$, то $\angle BAC = \angle ACD$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD, BC$ и секущей $AC$).

Также $\angle BCA = \angle CAD$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD, BC$ и секущей $AC$).

Для того чтобы $\triangle ABC$ был подобен $\triangle DCA$, должно выполняться соответствие вершин:

$\angle BAC \leftrightarrow \angle ACD$

$\angle BCA \leftrightarrow \angle CAD$

$\angle ABC \leftrightarrow \angle CDA$

Из подобия треугольников $\triangle ABC \sim \triangle DCA$ следует равенство отношений соответствующих сторон:

$\frac{AB}{DC} = \frac{BC}{CA} = \frac{AC}{DA}$

Мы знаем длины $AC$ и $DA$. Нам нужно найти $BC$. Используем часть отношения, содержащую эти стороны:

$\frac{BC}{CA} = \frac{AC}{DA}$

Подставим известные значения:

$\frac{BC}{6} = \frac{6}{12}$

Упростим правую часть:

$\frac{BC}{6} = \frac{1}{2}$

Теперь выразим $BC$:

$BC = 6 \cdot \frac{1}{2}$

$BC = 3$ м

Убеждаемся, что $BC = 3$ м является меньшим основанием по сравнению с $AD = 12$ м.

Ответ: $BC = 3$ м.

179. Длина тени дерева равна 10,2 м, а в это же время длина тени человека, рост которого 1,7 м, равна 2 м. Найдите высоту дерева.

Дано:

длина тени дерева $L_{дерева} = 10,2$ м

рост человека $h_{человека} = 1,7$ м

длина тени человека $L_{человека} = 2$ м

Перевод в СИ: все величины уже представлены в системе СИ и не требуют дополнительного перевода.

Найти:

высота дерева $h_{дерева}$

Решение:

Поскольку тень отбрасывается одновременно и деревом, и человеком, угол падения солнечных лучей на землю одинаков для обоих объектов. Это означает, что образуются два подобных прямоугольных треугольника: один образован высотой дерева и его тенью, другой – высотой человека и его тенью. В подобных треугольниках отношение соответствующих сторон одинаково.

Следовательно, отношение высоты объекта к длине его тени будет одинаковым для дерева и человека:

$\frac{h_{дерева}}{L_{дерева}} = \frac{h_{человека}}{L_{человека}}$

Выразим из этого соотношения высоту дерева $h_{дерева}$:

$h_{дерева} = \frac{h_{человека} \cdot L_{дерева}}{L_{человека}}$

Подставим известные значения в формулу:

$h_{дерева} = \frac{1,7 \, \text{м} \cdot 10,2 \, \text{м}}{2 \, \text{м}}$

Вычислим значение:

$h_{дерева} = \frac{17,34}{2} \, \text{м}$

$h_{дерева} = 8,67 \, \text{м}$

Ответ: $8,67$ м

180. В остроугольном $\triangle ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$, причем $AB_1 = B_1C = 5$ см, $AA_1 = 8$ см. Докажите, что $\triangle AA_1C \sim \triangle BB_1C$ и найдите площадь $\triangle ABC$.

Дано:

Треугольник $\Delta ABC$ — остроугольный.
$AA_1$ — высота, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$.
$BB_1$ — высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$.
$AB_1 = 5 \text{ см}$
$B_1C = 5 \text{ см}$
$AA_1 = 8 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$AB_1 = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$
$B_1C = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$
$AA_1 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

1. Доказать, что $\Delta AA_1C \sim \Delta BB_1C$
2. Площадь $S_{\Delta ABC}$

Решение

Докажите, что $\Delta AA_1C \sim \Delta BB_1C$

Рассмотрим два треугольника: $\Delta AA_1C$ и $\Delta BB_1C$. Так как $AA_1$ является высотой в $\Delta ABC$, она перпендикулярна стороне $BC$. Следовательно, $\angle AA_1C = 90^\circ$.

Аналогично, так как $BB_1$ является высотой в $\Delta ABC$, она перпендикулярна стороне $AC$. Следовательно, $\angle BB_1C = 90^\circ$.

Таким образом, мы имеем два прямых угла: $\angle AA_1C = \angle BB_1C = 90^\circ$.

Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников ($\Delta AA_1C$ и $\Delta BB_1C$).

По первому признаку подобия треугольников (по двум углам), если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Поскольку $\angle AA_1C = \angle BB_1C$ и $\angle C$ - общий угол, то треугольники $\Delta AA_1C$ и $\Delta BB_1C$ подобны.

Ответ: Доказано.

Найдите площадь $\Delta ABC$

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В нашем случае, нам известна высота $AA_1 = 8 \text{ см}$. Соответствующей ей стороной-основанием является $BC$. Таким образом, $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AA_1$. Чтобы найти площадь, нам необходимо определить длину стороны $BC$.

Из условия дано, что $AB_1 = 5 \text{ см}$ и $B_1C = 5 \text{ см}$. Тогда длина стороны $AC$ равна: $AC = AB_1 + B_1C = 5 \text{ см} + 5 \text{ см} = 10 \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta AA_1C$ (так как $AA_1$ - высота, то $\angle AA_1C = 90^\circ$). В этом треугольнике известны катет $AA_1 = 8 \text{ см}$ и гипотенуза $AC = 10 \text{ см}$. По теореме Пифагора $AC^2 = AA_1^2 + A_1C^2$. Выразим $A_1C^2$: $A_1C^2 = AC^2 - AA_1^2$. $A_1C^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$. $A_1C = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$.

Из доказанного подобия треугольников $\Delta AA_1C \sim \Delta BB_1C$ следует, что отношения соответствующих сторон равны: $\frac{AA_1}{BB_1} = \frac{A_1C}{B_1C} = \frac{AC}{BC}$.

Воспользуемся отношением $\frac{A_1C}{B_1C} = \frac{AC}{BC}$. Подставим известные значения: $A_1C = 6 \text{ см}$, $B_1C = 5 \text{ см}$, $AC = 10 \text{ см}$. $\frac{6}{5} = \frac{10}{BC}$.

Решим это уравнение относительно $BC$: $6 \cdot BC = 5 \cdot 10$ $6 \cdot BC = 50$ $BC = \frac{50}{6} = \frac{25}{3} \text{ см}$.

Теперь, когда известны длина основания $BC = \frac{25}{3} \text{ см}$ и длина высоты $AA_1 = 8 \text{ см}$, можем найти площадь $\Delta ABC$: $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AA_1$ $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{3} \cdot 8$ $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{200}{3}$ $S_{\Delta ABC} = \frac{100}{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $S_{\Delta ABC} = \frac{100}{3} \text{ см}^2$.

181. В прямоугольный $\triangle ABC$ с катетами 12 см и 6 см вписан квадрат $CDNK$, имеющий с треугольником общий прямой угол $C$, а точка $N$ лежит на гипотенузе. Найдите периметр квадрата.

Дано:

Прямоугольный треугольник $ABC$.

Катеты $AC = 12$ см, $BC = 6$ см.

Вписан квадрат $CDNK$ с общим прямым углом $C$ с треугольником $ABC$.

Точка $N$ лежит на гипотенузе $AB$.

Перевод в СИ:

$AC = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$BC = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Периметр квадрата $P_{CDNK}$.

Решение:

Пусть сторона квадрата $CDNK$ равна $x$.

Так как квадрат $CDNK$ имеет общий прямой угол $C$ с треугольником $ABC$, то вершины $D$ и $K$ квадрата лежат на катетах $AC$ и $BC$ соответственно. Следовательно, длины отрезков $CD$ и $CK$ равны стороне квадрата $x$.

$CD = x$

$CK = x$

Точка $D$ лежит на катете $AC$. Тогда длина отрезка $AD$ будет равна $AC - CD = 12 - x$.

Сторона $DN$ квадрата параллельна катету $BC$, поскольку обе эти линии перпендикулярны катету $AC$. Таким образом, треугольник $ADN$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $D$ ($DN \perp AC$).

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADN$.

Эти треугольники подобны по двум углам (критерий AA подобия):

1. Угол $A$ является общим для обоих треугольников.

2. Угол $ADN$ равен $90^\circ$ (так как $DN \perp AC$), и угол $ACB$ также равен $90^\circ$ (по условию).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{\text{сторона, противолежащая } \angle A \text{ в } \triangle ADN}{\text{сторона, противолежащая } \angle A \text{ в } \triangle ABC} = \frac{\text{катет при } \angle A \text{ в } \triangle ADN}{\text{катет при } \angle A \text{ в } \triangle ABC}$

Что в нашем случае означает:

$\frac{DN}{BC} = \frac{AD}{AC}$

Подставим известные значения: $DN = x$, $BC = 6$, $AD = 12 - x$, $AC = 12$.

$\frac{x}{6} = \frac{12 - x}{12}$

Для решения этого уравнения умножим обе части на $12$ (наименьшее общее кратное знаменателей):

$12 \cdot \frac{x}{6} = 12 \cdot \frac{12 - x}{12}$

$2x = 12 - x$

Прибавим $x$ к обеим частям уравнения:

$2x + x = 12$

$3x = 12$

Разделим обе части на $3$:

$x = \frac{12}{3}$

$x = 4 \text{ см}$

Таким образом, сторона квадрата равна $4$ см.

Периметр квадрата $P_{CDNK}$ вычисляется по формуле $P = 4 \times \text{сторона}$:

$P = 4 \cdot x = 4 \cdot 4 = 16 \text{ см}$

Ответ:

Периметр квадрата равен $16$ см.

182. В $ \Delta ABC $ со сторонами $ AB = 15 \text{ см}$, $ AC = 10 \text{ см}$ вписан ромб $ AMNK $ так, что точки $ M$, $ N $ и $ K $ принадлежат сторонам $ AB$, $ BC $ и $ AC $ соответственно. Найдите сторону ромба.

Дано

$\triangle ABC$
$AB = 15 \text{ см}$
$AC = 10 \text{ см}$
Ромб $AMNK$ вписан в $\triangle ABC$.
Точки $M, N, K$ принадлежат сторонам $AB, BC, AC$ соответственно.

Перевод в СИ

$AB = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$
$AC = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м}$

Найти

Сторону ромба $AMNK$.

Решение

Пусть сторона ромба $AMNK$ равна $x$.
Так как $AMNK$ – ромб, то все его стороны равны: $AM = MN = NK = KA = x$.
По условию, точка $M$ лежит на стороне $AB$, а точка $K$ – на стороне $AC$.
Следовательно, $AM = x$ и $AK = x$.
Поскольку $AMNK$ является ромбом, его стороны $MN$ и $AC$ параллельны, так как $MN \parallel AK$.
Это означает, что $\triangle BMN$ подобен $\triangle BAC$ (по двум углам: $\angle B$ общий, $\angle BMN = \angle BAC$ как соответственные углы при $MN \parallel AC$ и секущей $AB$).
Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:
$ \frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC} $
Мы знаем, что $AM = x$, а $AB = 15 \text{ см}$. Тогда $BM = AB - AM = 15 - x$.
Также $MN = x$ (сторона ромба) и $AC = 10 \text{ см}$.
Подставим эти значения в пропорцию:
$ \frac{15 - x}{15} = \frac{x}{10} $
Для решения этого уравнения воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$ 10 \cdot (15 - x) = 15 \cdot x $
$ 150 - 10x = 15x $
Перенесем члены с $x$ в одну сторону:
$ 150 = 15x + 10x $
$ 150 = 25x $
Разделим обе части на $25$:
$ x = \frac{150}{25} $
$ x = 6 $
Таким образом, сторона ромба равна $6$ см.

Ответ:

Сторона ромба равна $6$ см.

183. В треугольнике $ABC$ $AB = 15$ см, $AC = 20$ см. На стороне $AB$ отложен отрезок $AM = 8$ см, а на стороне $AC$ – отрезок $AN = 6$ см. Подобны ли треугольники $ABC$ и $ANM$? Ответ объясните.

Дано:

в треугольнике $ABC$:

$AB = 15$ см

$AC = 20$ см

на стороне $AB$ отложен отрезок $AM = 8$ см

на стороне $AC$ отложен отрезок $AN = 6$ см

Перевод в СИ:

$AB = 0.15$ м

$AC = 0.20$ м

$AM = 0.08$ м

$AN = 0.06$ м

Найти:

Подобны ли треугольники $ABC$ и $ANM$? Ответ объяснить.

Решение:

Для определения подобия двух треугольников, $ABC$ и $ANM$, воспользуемся вторым признаком подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Этот признак гласит, что если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

1. Общий угол:

Угол $\angle A$ является общим для обоих рассматриваемых треугольников ($ABC$ и $ANM$), то есть $\angle BAC = \angle NAM$.

2. Пропорциональность сторон:

Необходимо проверить отношение сторон, прилежащих к общему углу $A$. Для того чтобы треугольники $ABC$ и $ANM$ были подобны, должно выполняться условие пропорциональности: $\frac{AB}{AN} = \frac{AC}{AM}$.

Вычислим первое отношение сторон:

$\frac{AB}{AN} = \frac{15 \text{ см}}{6 \text{ см}} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2.5$

Вычислим второе отношение сторон:

$\frac{AC}{AM} = \frac{20 \text{ см}}{8 \text{ см}} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2.5$

Поскольку $\frac{AB}{AN} = \frac{AC}{AM} = 2.5$, и углы между этими сторонами (угол $A$) равны, то треугольники $ABC$ и $ANM$ подобны по второму признаку подобия.

Ответ:

Да, треугольники $ABC$ и $ANM$ подобны.

184. В треугольниках $ABC$ и $MNK$ $\angle B = \angle N$, $\frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NK} = \frac{2}{3}$.

Найдите $AC$ и $MK$, если $AC + MK = 20$ см.

Дано:

треугольники $ABC$ и $MNK$

$\angle B = \angle N$

$\frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NK} = \frac{2}{3}$

$AC + MK = 20 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$AC + MK = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

$AC$, $MK$

Решение:

По условию задачи, в треугольниках $ABC$ и $MNK$ углы $\angle B$ и $\angle N$ равны, и отношение сторон, прилежащих к этим углам, одинаково: $\frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NK} = \frac{2}{3}$.

Согласно признаку подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS - Side-Angle-Side), если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Следовательно, треугольник $ABC$ подобен треугольнику $MNK$ ($\triangle ABC \sim \triangle MNK$) с коэффициентом подобия $k = \frac{2}{3}$.

Из подобия треугольников следует, что отношение всех соответствующих сторон равно коэффициенту подобия. Таким образом, отношение третьих сторон $AC$ и $MK$ также равно $k$:

$\frac{AC}{MK} = \frac{2}{3}$

У нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $AC$ и $MK$:

$1) \frac{AC}{MK} = \frac{2}{3}$

$2) AC + MK = 20$

Из первого уравнения выразим $AC$ через $MK$:

$AC = \frac{2}{3} MK$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{2}{3} MK + MK = 20$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{2}{3} MK + \frac{3}{3} MK = 20$

$\frac{5}{3} MK = 20$

Теперь найдем $MK$:

$MK = 20 \times \frac{3}{5}$

$MK = \frac{60}{5}$

$MK = 12 \text{ см}$

Теперь найдем $AC$, используя выражение $AC = \frac{2}{3} MK$:

$AC = \frac{2}{3} \times 12$

$AC = 2 \times 4$

$AC = 8 \text{ см}$

Ответ:

$AC = 8 \text{ см}$, $MK = 12 \text{ см}$

185. Подобны ли треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AB = \frac{5}{4}$ м, $AC = \frac{3}{4}$ м, $BC = \frac{4}{5}$ м, $A_1B_1 = 5$ см, $A_1C_1 = 3$ см, $B_1C_1 = 3,2$ см? Ответ объясните.

Дано
Стороны треугольника $ABC$:
$AB = \frac{5}{4}$ м
$AC = \frac{3}{4}$ м
$BC = \frac{4}{5}$ м
Стороны треугольника $A_1B_1C_1$:
$A_1B_1 = 5$ см
$A_1C_1 = 3$ см
$B_1C_1 = 3.2$ см

Перевод в СИ
Для удобства сравнения переведем все длины сторон в сантиметры.
$1$ м $= 100$ см
$AB = \frac{5}{4}$ м $= \frac{5}{4} \times 100$ см $= 5 \times 25$ см $= 125$ см
$AC = \frac{3}{4}$ м $= \frac{3}{4} \times 100$ см $= 3 \times 25$ см $= 75$ см
$BC = \frac{4}{5}$ м $= \frac{4}{5} \times 100$ см $= 4 \times 20$ см $= 80$ см
Стороны треугольника $A_1B_1C_1$ уже даны в сантиметрах:
$A_1B_1 = 5$ см
$A_1C_1 = 3$ см
$B_1C_1 = 3.2$ см

Найти:
Подобны ли треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

Решение
Для того чтобы определить, подобны ли два треугольника, мы можем использовать признак подобия треугольников по трем сторонам (SSS). Согласно этому признаку, два треугольника подобны, если их соответствующие стороны пропорциональны.
Сначала упорядочим стороны каждого треугольника по возрастанию длины.
Для треугольника $ABC$:
$AC = 75$ см (самая короткая сторона)
$BC = 80$ см (средняя сторона)
$AB = 125$ см (самая длинная сторона)
Для треугольника $A_1B_1C_1$:
$A_1C_1 = 3$ см (самая короткая сторона)
$B_1C_1 = 3.2$ см (средняя сторона)
$A_1B_1 = 5$ см (самая длинная сторона)
Теперь вычислим отношения соответствующих сторон:
1. Отношение самых коротких сторон:
$\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{75}{3} = 25$
2. Отношение средних сторон:
$\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{80}{3.2}$
Для удобства вычисления умножим числитель и знаменатель на 10:
$\frac{800}{32}$
Разделим 800 на 32:
$800 \div 32 = (800 \div 8) \div 4 = 100 \div 4 = 25$
3. Отношение самых длинных сторон:
$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{125}{5} = 25$
Поскольку все три отношения соответствующих сторон равны ($25 = 25 = 25$), то треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны по признаку подобия по трем сторонам (SSS). Коэффициент подобия равен $25$.

Ответ:
Да, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, так как отношения их соответствующих сторон равны: $\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AB}{A_1B_1} = 25$.

186. Города Актобе, Петропавловск, Кызылорда образуют $ \Delta APK $, периметр которого на карте, выполненной в масштабе $ 1 : 10\,000\,000 $, равен 36,4 см. Найти расстояние между этими городами в действительности, если расстояние $ AP $ на 160 км меньше $ PK $ и на 150 км больше $ AK $.

Дано:

Масштаб карты: $M = 1 : 10 000 000$

Периметр треугольника на карте: $P_{карта} = 36.4 \text{ см}$

Расстояние $AP$ на $160 \text{ км}$ меньше расстояния $PK$: $AP = PK - 160 \text{ км}$

Расстояние $AP$ на $150 \text{ км}$ больше расстояния $AK$: $AP = AK + 150 \text{ км}$

Перевод данных в СИ:

Масштаб $1 : 10 000 000$ означает, что $1 \text{ см}$ на карте соответствует $10 000 000 \text{ см}$ в действительности.

Переведем $10 000 000 \text{ см}$ в метры: $10 000 000 \text{ см} = 10 000 000 \times 10^{-2} \text{ м} = 100 000 \text{ м}$.

Таким образом, $1 \text{ см}$ на карте соответствует $100 000 \text{ м}$ в действительности.

Периметр на карте: $P_{карта} = 36.4 \text{ см}$.

Действительный периметр: $P_{действ} = P_{карта} \times 10 000 000 = 36.4 \text{ см} \times 10 000 000 = 364 000 000 \text{ см} = 3 640 000 \text{ м}$.

Разница расстояний: $160 \text{ км} = 160 \times 1000 \text{ м} = 160 000 \text{ м}$.

Разница расстояний: $150 \text{ км} = 150 \times 1000 \text{ м} = 150 000 \text{ м}$.

Найти:

Расстояния между городами в действительности ($AP_{действ}$, $PK_{действ}$, $AK_{действ}$).

Решение:

1. Определим действительный периметр треугольника.

Масштаб карты $1 : 10 000 000$ означает, что $1 \text{ см}$ на карте соответствует $10 000 000 \text{ см}$ в действительности.

Переведем $10 000 000 \text{ см}$ в километры для удобства, так как остальные данные даны в километрах: $10 000 000 \text{ см} = 10 000 000 / 100 000 \text{ км} = 100 \text{ км}$.

Таким образом, $1 \text{ см}$ на карте соответствует $100 \text{ км}$ в действительности.

Действительный периметр $P_{действ}$ равен периметру на карте, умноженному на масштабный коэффициент:

$P_{действ} = 36.4 \text{ см} \times 100 \text{ км/см} = 3640 \text{ км}$.

2. Составим систему уравнений для длин сторон треугольника.

Пусть действительная длина стороны $AP$ равна $x \text{ км}$.

Из условия задачи даны соотношения между сторонами:

Расстояние $AP$ на $160 \text{ км}$ меньше $PK$: $x = PK - 160 \text{ км} \Rightarrow PK = x + 160 \text{ км}$.

Расстояние $AP$ на $150 \text{ км}$ больше $AK$: $x = AK + 150 \text{ км} \Rightarrow AK = x - 150 \text{ км}$.

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон: $P_{действ} = AP + PK + AK$.

Подставим значения и выражения для сторон в формулу периметра:

$3640 = x + (x + 160) + (x - 150)$.

3. Решим полученное уравнение относительно $x$:

$3640 = x + x + 160 + x - 150$

$3640 = 3x + 10$

$3x = 3640 - 10$

$3x = 3630$

$x = \frac{3630}{3}$

$x = 1210$.

Таким образом, действительное расстояние $AP_{действ} = 1210 \text{ км}$.

4. Найдем длины остальных сторон, используя найденное значение $x$:

Расстояние $PK_{действ} = x + 160 = 1210 + 160 = 1370 \text{ км}$.

Расстояние $AK_{действ} = x - 150 = 1210 - 150 = 1060 \text{ км}$.

Ответ:

Расстояние между Актобе и Петропавловском ($AP$) составляет $1210 \text{ км}$.

Расстояние между Петропавловском и Кызылордой ($PK$) составляет $1370 \text{ км}$.

Расстояние между Актобе и Кызылордой ($AK$) составляет $1060 \text{ км}$.