Страница 78 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Дайте определение преобразования: а) гомотетии; б) подобия.

2. Какие две фигуры называются: а) гомотетичными; б) подобными?

3. Докажите, что гомотетия является преобразованием подобия.

4. Какие свойства гомотетии и подобия вы знаете?

5. Объясните на примерах способы построения двух фигур: а) гомотетичных; б) подобных.

1. Дайте определение преобразования:

а) гомотетии;

Ответ: Преобразование плоскости, при котором каждая точка $P$ переходит в точку $P'$, лежащую на луче $OP$ (если $P$ не совпадает с центром $O$) или на дополнительном к нему луче, причём отношение расстояний $OP'$ к $OP$ равно постоянному числу $|k|$ (коэффициенту гомотетии), а векторы $\vec{OP'}$ и $\vec{OP}$ коллинеарны (для $k > 0$ они сонаправлены, для $k < 0$ противоположно направлены), называется гомотетией с центром $O$ и коэффициентом $k$. То есть, $\vec{OP'} = k \cdot \vec{OP}$.

б) подобия.

Ответ: Преобразование плоскости, при котором любая фигура $F$ переходит в фигуру $F'$, подобную $F$, называется преобразованием подобия. То есть, преобразование подобия сохраняет форму фигур и изменяет их размеры в постоянное число раз. Если $A$, $B$ – две произвольные точки, а $A'$, $B'$ – их образы при преобразовании подобия, то $A'B' = k \cdot AB$, где $k$ – коэффициент подобия, $k > 0$.

2. Какие две фигуры называются:

а) гомотетичными;

Ответ: Две фигуры называются гомотетичными, если одна из них может быть получена из другой с помощью гомотетии. Гомотетичные фигуры являются подобными, их соответствующие стороны параллельны, а углы равны.

б) подобными?

Ответ: Две фигуры называются подобными, если одна из них может быть получена из другой с помощью преобразования подобия. Для многоугольников это означает, что их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

3. Докажите, что гомотетия является преобразованием подобия.

Решение

Рассмотрим гомотетию с центром $O$ и коэффициентом $k$. Пусть $A$ и $B$ – две произвольные точки, а $A'$ и $B'$ – их образы при этой гомотетии.По определению гомотетии:$\vec{OA'} = k \cdot \vec{OA}$$\vec{OB'} = k \cdot \vec{OB}$

Найдем вектор $\vec{A'B'}$:$\vec{A'B'} = \vec{OB'} - \vec{OA'}$Подставим выражения для $\vec{OB'}$ и $\vec{OA'}$:$\vec{A'B'} = k \cdot \vec{OB} - k \cdot \vec{OA}$$\vec{A'B'} = k \cdot (\vec{OB} - \vec{OA})$$\vec{A'B'} = k \cdot \vec{AB}$

Из полученного равенства $\vec{A'B'} = k \cdot \vec{AB}$ следуют два важных вывода:

1. Длина отрезка $A'B'$ равна $|k|$ умноженному на длину отрезка $AB$: $A'B' = |k| \cdot AB$. Это означает, что гомотетия изменяет длины всех отрезков в одно и то же число раз (коэффициент $|k|$).

2. Векторы $\vec{A'B'}$ и $\vec{AB}$ коллинеарны, что означает, что отрезок $A'B'$ параллелен отрезку $AB$ (или лежит на той же прямой, если точки $O, A, B$ коллинеарны). Поскольку гомотетия переводит любую прямую в параллельную ей прямую (или в себя), то углы между прямыми сохраняются. Например, если у нас есть угол $\angle ABC$, то при гомотетии он перейдет в $\angle A'B'C'$, и поскольку стороны угла $B'A'$ и $B'C'$ параллельны сторонам $BA$ и $BC$ соответственно, то углы будут равны: $\angle A'B'C' = \angle ABC$.

Таким образом, гомотетия сохраняет углы между отрезками и изменяет длины всех отрезков в постоянное число раз $|k|$. Эти два свойства являются определяющими для преобразования подобия. Следовательно, гомотетия является преобразованием подобия с коэффициентом подобия $|k|$.

Ответ: Доказано.

4. Какие свойства гомотетии и подобия вы знаете?

Свойства гомотетии:

• Гомотетия является преобразованием подобия с коэффициентом, равным модулю коэффициента гомотетии $|k|$.

• Гомотетия сохраняет ориентацию плоскости, если $k > 0$, и изменяет, если $k < 0$.

• Любая прямая переходит в параллельную ей прямую (или в саму себя, если прямая проходит через центр гомотетии).

• Любой отрезок переходит в параллельный ему отрезок, длина которого в $|k|$ раз больше (или меньше) длины исходного отрезка.

• Углы сохраняются (их величины не изменяются).

• Середина отрезка переходит в середину соответствующего отрезка.

• Центр гомотетии является единственной неподвижной точкой (если $k \ne 1$).

• Окружность переходит в окружность, причем центр новой окружности является образом центра исходной окружности при той же гомотетии.

Свойства подобия:

• Преобразование подобия сохраняет величины углов.

• Отношение длин любых двух отрезков сохраняется (оно равно коэффициенту подобия $k$).

• Прямая переходит в прямую, луч в луч, отрезок в отрезок.

• Параллельные прямые переходят в параллельные прямые.

• Окружность переходит в окружность.

• Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия ($k^2$).

• Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия ($k^3$).

• Подобие является отношением эквивалентности (рефлексивно, симметрично, транзитивно).

Ответ: Свойства перечислены выше.

5. Объясните на примерах способы построения двух фигур:

а) гомотетичных;

Ответ: Построение треугольника $A'B'C'$ гомотетичного треугольнику $ABC$ с центром $O$ и коэффициентом гомотетии $k = 2$.

1. Выберем произвольную точку $O$ на плоскости, которая будет центром гомотетии.

2. Проведем лучи из точки $O$ через каждую вершину треугольника $ABC$, то есть лучи $OA$, $OB$, $OC$.

3. На каждом луче отложим отрезки, длины которых в $k=2$ раза больше соответствующих отрезков до вершин исходного треугольника. То есть, на луче $OA$ найдем точку $A'$ такую, что $OA' = 2 \cdot OA$. Аналогично, на луче $OB$ найдем точку $B'$ такую, что $OB' = 2 \cdot OB$, и на луче $OC$ найдем точку $C'$ такую, что $OC' = 2 \cdot OC$.

4. Соединим полученные точки $A'$, $B'$, $C'$. Треугольник $A'B'C'$ будет гомотетичен треугольнику $ABC$ с центром $O$ и коэффициентом $k=2$. Стороны $A'B'$, $B'C'$, $C'A'$ будут параллельны сторонам $AB$, $BC$, $CA$ соответственно, а их длины будут в 2 раза больше.

б) подобных.

Ответ: Построение треугольника $A'B'C'$ подобного треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия $k = 1/2$.

1. **Способ 1 (через гомотетию):** Так как гомотетия является частным случаем преобразования подобия, можно использовать метод, описанный выше для гомотетичных фигур. Для коэффициента подобия $k = 1/2$, центр $O$ и точки $A', B', C'$ будут располагаться на лучах $OA, OB, OC$ таким образом, что $OA' = (1/2) \cdot OA$, $OB' = (1/2) \cdot OB$, $OC' = (1/2) \cdot OC$. Полученный треугольник $A'B'C'$ будет подобен $ABC$ с коэффициентом $1/2$.

2. **Способ 2 (через углы и стороны):** Допустим, нам дан треугольник $ABC$. Мы хотим построить подобный ему треугольник $A'B'C'$ с коэффициентом подобия $k = 1/2$.

   1. Выберем произвольную прямую и на ней отложим отрезок $A'B'$ так, чтобы его длина была равна $AB \cdot k = AB \cdot (1/2)$.

   2. Из точки $A'$ с помощью транспортира или циркуля и линейки построим угол, равный $\angle CAB$.

   3. Из точки $B'$ с помощью транспортира или циркуля и линейки построим угол, равный $\angle CBA$.

   4. Точка пересечения сторон построенных углов (лучей) будет вершиной $C'$.

   Треугольник $A'B'C'$ будет подобен треугольнику $ABC$, поскольку у них будут равны два угла, а третий угол также будет равен. При этом сторона $A'B'$ будет в $1/2$ раза меньше $AB$, и, в силу подобия, остальные стороны также будут пропорциональны с тем же коэффициентом $1/2$.

Ответ: Способы построения объяснены на примерах.

166. Дан треугольник со сторонами, равными 7 см, 6 см, 5 см.

Постройте треугольник, гомотетичный данному, с центром гомотетии в точке пересечения его медиан и коэффициентом гомотетии, равным:

а) $\frac{3}{2}$;

б) $-0,5$.

Сравните соответствующие углы данного и построенных треугольников.

Дано:

Треугольник ABC со сторонами $a = 7 \text{ см}$, $b = 6 \text{ см}$, $c = 5 \text{ см}$.

Центр гомотетии $G$ - точка пересечения медиан треугольника ABC.

Коэффициенты гомотетии: $k_1 = \frac{3}{2}$ и $k_2 = -0.5$.

Перевод в СИ: Не требуется, так как единицы измерения (сантиметры) являются стандартными для геометрических задач и используются последовательно.

Найти:

Построить треугольники $A'B'C'$ и $A''B''C''$ гомотетичные исходному.

Сравнить соответствующие углы исходного и построенных треугольников.

Решение:

Гомотетия — это преобразование подобия, которое переводит любую фигуру в подобную ей фигуру. При гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$, каждая точка $X$ фигуры отображается в точку $X'$ такую, что $\vec{OX'} = k \cdot \vec{OX}$.

Важнейшие свойства гомотетии, необходимые для решения данной задачи:

1. Гомотетия переводит отрезки в параллельные отрезки, длина которых изменяется в $|k|$ раз.

2. Гомотетия переводит углы в равные им углы. То есть углы фигуры сохраняются.

3. Треугольник переходит в подобный ему треугольник.

В данной задаче центром гомотетии является точка пересечения медиан (центроид) $G$ исходного треугольника ABC.

а) Постройте треугольник, гомотетичный данному, с центром гомотетии в точке пересечения его медиан и коэффициентом гомотетии, равным $ \frac{3}{2} $.

Для построения треугольника $A'B'C'$, гомотетичного треугольнику ABC с центром $G$ и коэффициентом $k = \frac{3}{2}$:

1. Сначала строим исходный треугольник ABC со сторонами 7 см, 6 см, 5 см. (Для проверки возможности построения: $5+6 > 7$, что истинно, значит треугольник существует).

2. Находим середины сторон и проводим медианы. Точка их пересечения - это центроид $G$, который будет центром гомотетии.

3. Для каждой вершины исходного треугольника (A, B, C) строим ее образ. Например, для вершины A:
Проводим луч $GA$. На этом луче откладываем точку $A'$ такую, что $GA' = \frac{3}{2} \cdot GA$.
Аналогично поступаем для вершин B и C, получая точки $B'$ и $C'$ соответственно, так что $GB' = \frac{3}{2} \cdot GB$ и $GC' = \frac{3}{2} \cdot GC$.

4. Соединяем точки $A'$, $B'$, $C'$ для получения искомого гомотетичного треугольника $A'B'C'$.

Стороны полученного треугольника $A'B'C'$ будут в $\frac{3}{2}$ раза больше сторон исходного треугольника ABC:

$a' = \frac{3}{2} \cdot 7 \text{ см} = 10.5 \text{ см}$

$b' = \frac{3}{2} \cdot 6 \text{ см} = 9 \text{ см}$

$c' = \frac{3}{2} \cdot 5 \text{ см} = 7.5 \text{ см}$

Ответ: Построен треугольник $A'B'C'$ со сторонами 10.5 см, 9 см, 7.5 см.

б) Постройте треугольник, гомотетичный данному, с центром гомотетии в точке пересечения его медиан и коэффициентом гомотетии, равным $-0.5$.

Для построения треугольника $A''B''C''$, гомотетичного треугольнику ABC с центром $G$ и коэффициентом $k = -0.5$:

1. Используем тот же исходный треугольник ABC и его центроид $G$.

2. Для каждой вершины исходного треугольника (A, B, C) строим ее образ. Например, для вершины A:
Поскольку коэффициент $k = -0.5$ отрицательный, точка $A''$ будет лежать на луче, противоположном лучу $GA$, проходящем через $G$.
Откладываем точку $A''$ такую, что $GA'' = |-0.5| \cdot GA = 0.5 \cdot GA$.
Аналогично поступаем для вершин B и C, получая точки $B''$ и $C''$ соответственно, так что $GB'' = 0.5 \cdot GB$ и $GC'' = 0.5 \cdot GC$.

3. Соединяем точки $A''$, $B''$, $C''$ для получения искомого гомотетичного треугольника $A''B''C''$.

Стороны полученного треугольника $A''B''C''$ будут в $|-0.5| = 0.5$ раза меньше сторон исходного треугольника ABC, а сам треугольник будет расположен по другую сторону от центра гомотетии $G$ по отношению к исходному треугольнику:

$a'' = |-0.5| \cdot 7 \text{ см} = 3.5 \text{ см}$

$b'' = |-0.5| \cdot 6 \text{ см} = 3 \text{ см}$

$c'' = |-0.5| \cdot 5 \text{ см} = 2.5 \text{ см}$

Ответ: Построен треугольник $A''B''C''$ со сторонами 3.5 см, 3 см, 2.5 см.

Сравните соответствующие углы данного и построенных треугольников.

Как было отмечено в свойствах гомотетии, это преобразование сохраняет величины углов. Это означает, что углы исходного треугольника ABC равны соответствующим углам гомотетичных треугольников $A'B'C'$ и $A''B''C''$.

Например, $\angle A' = \angle A$, $\angle B' = \angle B$, $\angle C' = \angle C$.

Аналогично, $\angle A'' = \angle A$, $\angle B'' = \angle B$, $\angle C'' = \angle C$.

Ответ: Соответствующие углы данного и построенных треугольников равны, так как гомотетия является преобразованием подобия, которое сохраняет величину углов.

167. Стороны прямоугольника равны 2 см и 3 см. Постройте подобный ему прямоугольник с коэффициентом подобия, равным 2, и найдите отношение площадей построенного и данного прямоугольников.

Дано:

Стороны данного прямоугольника: $a_1 = 2$ см, $b_1 = 3$ см.

Коэффициент подобия: $k = 2$.

Перевод в СИ:

$a_1 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$b_1 = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

1. Размеры подобного прямоугольника ($a_2, b_2$).

2. Отношение площадей построенного и данного прямоугольников ($S_2 / S_1$).

Решение:

Построение подобного прямоугольника

Если два прямоугольника подобны с коэффициентом подобия $k$, то их соответствующие стороны пропорциональны этому коэффициенту. То есть, если стороны данного прямоугольника $a_1$ и $b_1$, а стороны подобного прямоугольника $a_2$ и $b_2$, то $a_2 = k \cdot a_1$ и $b_2 = k \cdot b_1$.

Подставим данные значения:

$a_2 = 2 \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$

$b_2 = 2 \cdot 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$

Таким образом, для построения подобного прямоугольника необходимо начертить прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см.

Ответ: Стороны построенного прямоугольника 4 см и 6 см.

Отношение площадей построенного и данного прямоугольников

Площадь данного прямоугольника $S_1$ вычисляется по формуле $S_1 = a_1 \cdot b_1$.

$S_1 = 2 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 6 \text{ см}^2$

Площадь построенного (подобного) прямоугольника $S_2$ вычисляется по формуле $S_2 = a_2 \cdot b_2$.

$S_2 = 4 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$

Найдем отношение площадей $S_2$ к $S_1$:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{24 \text{ см}^2}{6 \text{ см}^2} = 4$

Известно также, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_2}{S_1} = k^2$.

Проверим это, используя данный коэффициент подобия $k=2$:

$k^2 = (2)^2 = 4$

Результаты совпадают.

Ответ: Отношение площадей построенного и данного прямоугольников равно 4.

168. В $\Delta ABC$ угол $C$ – прямой, $AC = 8$ см, $BC = 6$ см.
а) На одном чертеже постройте $\Delta A_1B_1C_1$ и $\Delta A_2B_2C_2$, подобные $\Delta ABC$, с коэффициентами подобия соответственно равными $\frac{1}{4}$ и $\frac{3}{4}$.
б) Найдите длины медиан $C_1M_1$ и $C_2M_2$ построенных треугольников.

Дано:

треугольник $ABC$, где $\angle C = 90^\circ$.

$AC = 8$ см.

$BC = 6$ см.

треугольники $\triangle A_1B_1C_1$ и $\triangle A_2B_2C_2$ подобны $\triangle ABC$.

коэффициент подобия для $\triangle A_1B_1C_1$ равен $k_1 = \frac{1}{4}$.

коэффициент подобия для $\triangle A_2B_2C_2$ равен $k_2 = \frac{3}{4}$.

Перевод в СИ:

$AC = 0.08$ м.

$BC = 0.06$ м.

Найти:

а) построить $\triangle A_1B_1C_1$ и $\triangle A_2B_2C_2$ на одном чертеже.

б) длины медиан $C_1M_1$ и $C_2M_2$.

Решение

а) На одном чертеже постройте $\triangle A_1B_1C_1$ и $\triangle A_2B_2C_2$, подобные $\triangle ABC$, с коэффициентами подобия соответственно равными $\frac{1}{4}$ и $\frac{3}{4}$.

построение:

1. постройте прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$, катетами $AC = 8$ см и $BC = 6$ см.

2. для построения подобных треугольников с вершиной подобия $C$ (центром гомотетии), отложите на катете $AC$ отрезки $CA_1$ и $CA_2$, а на катете $BC$ отрезки $CB_1$ и $CB_2$.

3. для $\triangle A_1B_1C_1$: $CA_1 = k_1 \cdot AC = \frac{1}{4} \cdot 8 \text{ см} = 2 \text{ см}$ и $CB_1 = k_1 \cdot BC = \frac{1}{4} \cdot 6 \text{ см} = 1.5 \text{ см}$. соедините точки $A_1$ и $B_1$. треугольник $A_1B_1C_1$ и есть первый искомый треугольник.

4. для $\triangle A_2B_2C_2$: $CA_2 = k_2 \cdot AC = \frac{3}{4} \cdot 8 \text{ см} = 6 \text{ см}$ и $CB_2 = k_2 \cdot BC = \frac{3}{4} \cdot 6 \text{ см} = 4.5 \text{ см}$. соедините точки $A_2$ и $B_2$. треугольник $A_2B_2C_2$ и есть второй искомый треугольник.

обе построенные фигуры $\triangle A_1B_1C_1$ и $\triangle A_2B_2C_2$ будут находиться внутри исходного треугольника $ABC$, имея общую вершину $C$ и общие катеты, расположенные на катетах $AC$ и $BC$ соответственно.

Ответ: построение описано выше.

б) Найдите длины медиан $C_1M_1$ и $C_2M_2$ построенных треугольников.

1. найдем длину гипотенузы $AB$ исходного треугольника $\triangle ABC$ по теореме пифагора:

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$.

2. найдем длину медианы $CM$ (медианы, проведенной из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$) исходного треугольника $\triangle ABC$.

в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине длины этой гипотенузы:

$CM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ см} = 5 \text{ см}$.

3. поскольку треугольники $\triangle A_1B_1C_1$ и $\triangle ABC$ подобны с коэффициентом подобия $k_1 = \frac{1}{4}$, то и соответствующие медианы этих треугольников относятся с тем же коэффициентом. медиана $C_1M_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$ соответствует медиане $CM$ в $\triangle ABC$.

$C_1M_1 = k_1 \cdot CM = \frac{1}{4} \cdot 5 \text{ см} = \frac{5}{4} \text{ см} = 1.25 \text{ см}$.

4. аналогично, для треугольника $\triangle A_2B_2C_2$, который подобен $\triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k_2 = \frac{3}{4}$:

$C_2M_2 = k_2 \cdot CM = \frac{3}{4} \cdot 5 \text{ см} = \frac{15}{4} \text{ см} = 3.75 \text{ см}$.

Ответ: $C_1M_1 = 1.25 \text{ см}$, $C_2M_2 = 3.75 \text{ см}$.

169. Дан ромб $ABCD$, в котором $AC = 8$ см, $BD = 6$ см.

а) Используя гомотетию с центром в точке $A$, постройте ромб, подобный данному, с коэффициентом подобия, равным $\frac{3}{4}$.

б) Найдите высоту построенного ромба.

Дано:
Ромб $ABCD$
Диагональ $AC = 8$ см
Диагональ $BD = 6$ см
Коэффициент гомотетии $k = \frac{3}{4}$
Центр гомотетии $O = A$

Перевод в СИ:
$AC = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$
$BD = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$k = \frac{3}{4}$ (безразмерная величина)

Найти:
а) Построить ромб, подобный данному, используя гомотетию.
б) Высоту построенного ромба ($h_1$).

Решение

а) Используя гомотетию с центром в точке A, постройте ромб, подобный данному, с коэффициентом подобия, равным $3/4$.

Гомотетия — это преобразование, при котором каждая точка $M$ отображается в точку $M'$ такую, что $\vec{AM'} = k \vec{AM}$, где $A$ — центр гомотетии, а $k$ — коэффициент. В данном случае, центр гомотетии совпадает с вершиной $A$ ромба $ABCD$, а коэффициент $k = \frac{3}{4}$. Поскольку точка $A$ является центром гомотетии, она отображается сама в себя, то есть $A' = A$.

Для построения нового ромба $A'B'C'D'$ (который будет $AB'C'D'$):

1. Постройте исходный ромб $ABCD$. Это можно сделать, нарисовав две взаимно перпендикулярные диагонали $AC$ и $BD$, которые делятся пополам в точке их пересечения (назовем ее $O$). Так $AO = 4$ см, $OC = 4$ см, $BO = 3$ см, $OD = 3$ см. Затем соедините концы диагоналей.
2. Из центра гомотетии $A$ проведите лучи через вершины $B$, $C$, $D$.
3. На луче $AB$ отложите отрезок $AB'$ такой длины, чтобы $AB' = k \cdot AB = \frac{3}{4} AB$. Точка $B'$ будет образом точки $B$.
4. На луче $AC$ отложите отрезок $AC'$ такой длины, чтобы $AC' = k \cdot AC = \frac{3}{4} AC$. Точка $C'$ будет образом точки $C$. Поскольку $AC = 8$ см, $AC' = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6$ см.
5. На луче $AD$ отложите отрезок $AD'$ такой длины, чтобы $AD' = k \cdot AD = \frac{3}{4} AD$. Точка $D'$ будет образом точки $D$.
6. Соедините последовательно точки $A$, $B'$, $C'$, $D'$. Полученный четырехугольник $AB'C'D'$ является искомым ромбом.

Длины диагоналей нового ромба будут масштабированы в $k$ раз относительно исходных. Диагональ $AC$ нового ромба будет $AC' = k \cdot AC = \frac{3}{4} \cdot 8 \text{ см} = 6 \text{ см}$. Вторая диагональ $B'D'$ будет параллельна $BD$ и ее длина будет $B'D' = k \cdot BD = \frac{3}{4} \cdot 6 \text{ см} = \frac{18}{4} \text{ см} = 4.5 \text{ см}$.

Ответ: Искомый ромб $AB'C'D'$ построен путем масштабирования отрезков $AB$, $AC$, $AD$ из центра $A$ с коэффициентом $\frac{3}{4}$. Его диагонали $AC' = 6$ см и $B'D' = 4.5$ см.

б) Найдите высоту построенного ромба.

Высота ромба $h$ связана с его площадью $S$ и стороной $a$ формулой $S = a \cdot h$.

Сначала найдем сторону исходного ромба $ABCD$. Диагонали ромба делятся точкой пересечения $O$ пополам и взаимно перпендикулярны.Следовательно, $AO = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.$BO = \frac{BD}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

В прямоугольном треугольнике $AOB$ (с прямым углом при $O$) сторона ромба $a$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:$a^2 = AO^2 + BO^2$$a^2 = 4^2 + 3^2$$a^2 = 16 + 9$$a^2 = 25$$a = \sqrt{25} = 5$ см.

Площадь исходного ромба $S$ можно вычислить по формуле через диагонали:$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 6 \text{ см}$$S = \frac{1}{2} \cdot 48 \text{ см}^2$$S = 24 \text{ см}^2$.

Теперь найдем высоту исходного ромба $h$:$h = \frac{S}{a}$$h = \frac{24 \text{ см}^2}{5 \text{ см}}$$h = 4.8$ см.

При гомотетии с коэффициентом $k$, все линейные размеры фигуры (стороны, диагонали, высоты) изменяются в $k$ раз. Таким образом, высота $h_1$ построенного ромба $AB'C'D'$ будет в $k$ раз меньше высоты исходного ромба $ABCD$.$h_1 = k \cdot h$$h_1 = \frac{3}{4} \cdot 4.8 \text{ см}$$h_1 = 3 \cdot \left(\frac{4.8}{4}\right) \text{ см}$$h_1 = 3 \cdot 1.2 \text{ см}$$h_1 = 3.6$ см.

Ответ: Высота построенного ромба составляет $3.6$ см.