Номер 167, страница 78 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

167. Стороны прямоугольника равны 2 см и 3 см. Постройте подобный ему прямоугольник с коэффициентом подобия, равным 2, и найдите отношение площадей построенного и данного прямоугольников.

Дано:

Стороны данного прямоугольника: $a_1 = 2$ см, $b_1 = 3$ см.

Коэффициент подобия: $k = 2$.

Перевод в СИ:

$a_1 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$b_1 = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

1. Размеры подобного прямоугольника ($a_2, b_2$).

2. Отношение площадей построенного и данного прямоугольников ($S_2 / S_1$).

Решение:

Построение подобного прямоугольника

Если два прямоугольника подобны с коэффициентом подобия $k$, то их соответствующие стороны пропорциональны этому коэффициенту. То есть, если стороны данного прямоугольника $a_1$ и $b_1$, а стороны подобного прямоугольника $a_2$ и $b_2$, то $a_2 = k \cdot a_1$ и $b_2 = k \cdot b_1$.

Подставим данные значения:

$a_2 = 2 \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$

$b_2 = 2 \cdot 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$

Таким образом, для построения подобного прямоугольника необходимо начертить прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см.

Ответ: Стороны построенного прямоугольника 4 см и 6 см.

Отношение площадей построенного и данного прямоугольников

Площадь данного прямоугольника $S_1$ вычисляется по формуле $S_1 = a_1 \cdot b_1$.

$S_1 = 2 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 6 \text{ см}^2$

Площадь построенного (подобного) прямоугольника $S_2$ вычисляется по формуле $S_2 = a_2 \cdot b_2$.

$S_2 = 4 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$

Найдем отношение площадей $S_2$ к $S_1$:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{24 \text{ см}^2}{6 \text{ см}^2} = 4$

Известно также, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_2}{S_1} = k^2$.

Проверим это, используя данный коэффициент подобия $k=2$:

$k^2 = (2)^2 = 4$

Результаты совпадают.

Ответ: Отношение площадей построенного и данного прямоугольников равно 4.