Номер 162, страница 72 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

162. Фигура ABCDF (рисунок 103) поворотами вокруг центра O на $x^\circ$, $2x^\circ$, $3x^\circ$, $4x^\circ$, $5x^\circ$ отображается на себя.

а) Чему равен x?

б) Назовите образы отрезка AC при повороте около точки O на $x^\circ$.

Рисунок 103

Дано:

Фигура $ABCDF$ (рисунок 103) — правильная пятиконечная звезда с центром $O$.

Фигура отображается на себя при поворотах вокруг центра $O$ на углы $x^\circ$, $2x^\circ$, $3x^\circ$, $4x^\circ$, $5x^\circ$.

Найти:

а) Чему равен $x$?

б) Назвать образы отрезка $AC$ при повороте около точки $O$ на $x^\circ$, $2x^\circ$, $3x^\circ$, $4x^\circ$, $5x^\circ$.

Решение:

а) Чему равен x?

Фигура $ABCDF$ является правильной пятиконечной звездой (пентаграммой). Правильная пятиконечная звезда обладает вращательной симметрией 5-го порядка относительно своего центра. Это означает, что она отображается на себя при поворотах вокруг своего центра на углы, кратные $\frac{360^\circ}{5}$.

Наименьший ненулевой угол поворота, при котором фигура отображается на себя, составляет:

$\frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$.

По условию задачи, фигура отображается на себя при поворотах на $x^\circ$, $2x^\circ$, $3x^\circ$, $4x^\circ$, $5x^\circ$. Это означает, что $x^\circ$ должен быть наименьшим таким углом, или его кратным, чтобы все последующие углы ($2x^\circ, 3x^\circ, 4x^\circ, 5x^\circ$) также были углами симметрии.

Наименьшее значение $x$, при котором это условие выполняется, соответствует наименьшему углу поворота симметрии.

Таким образом, $x^\circ = 72^\circ$.

При этом значения углов поворота будут: $72^\circ$, $144^\circ$, $216^\circ$, $288^\circ$, $360^\circ$. Все эти углы являются кратными $72^\circ$, что соответствует вращательной симметрии пятиконечной звезды.

Ответ: $x = 72$

б) Назовите образы отрезка AC при повороте около точки O на $x^\circ$.

Используя найденное значение $x = 72^\circ$, определим образы отрезка $AC$ при каждом из заданных поворотов. Мы будем считать, что поворот осуществляется против часовой стрелки, следуя последовательности вершин A, B, C, D, F.

При повороте на $x^\circ = 72^\circ$:

• Вершина $A$ переходит в вершину $B$.

• Вершина $C$ переходит в вершину $D$.

• Следовательно, отрезок $AC$ переходит в отрезок $BD$.

При повороте на $2x^\circ = 144^\circ$:

• Вершина $A$ переходит в вершину $C$ ($A \rightarrow B \rightarrow C$).

• Вершина $C$ переходит в вершину $F$ ($C \rightarrow D \rightarrow F$).

• Следовательно, отрезок $AC$ переходит в отрезок $CF$.

При повороте на $3x^\circ = 216^\circ$:

• Вершина $A$ переходит в вершину $D$ ($A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D$).

• Вершина $C$ переходит в вершину $A$ ($C \rightarrow D \rightarrow F \rightarrow A$).

• Следовательно, отрезок $AC$ переходит в отрезок $DA$ (или $AD$).

При повороте на $4x^\circ = 288^\circ$:

• Вершина $A$ переходит в вершину $F$ ($A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow F$).

• Вершина $C$ переходит в вершину $B$ ($C \rightarrow D \rightarrow F \rightarrow A \rightarrow B$).

• Следовательно, отрезок $AC$ переходит в отрезок $FB$ (или $BF$).

При повороте на $5x^\circ = 360^\circ$:

• Вершина $A$ переходит в вершину $A$ (поворот на $360^\circ$ возвращает в исходное положение).

• Вершина $C$ переходит в вершину $C$.

• Следовательно, отрезок $AC$ переходит в отрезок $AC$.

Ответ: При повороте на $x^\circ$ ($72^\circ$), образ отрезка $AC$ — $BD$. При повороте на $2x^\circ$ ($144^\circ$), образ отрезка $AC$ — $CF$. При повороте на $3x^\circ$ ($216^\circ$), образ отрезка $AC$ — $DA$. При повороте на $4x^\circ$ ($288^\circ$), образ отрезка $AC$ — $FB$. При повороте на $5x^\circ$ ($360^\circ$), образ отрезка $AC$ — $AC$.