Номер 155, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

155. Выполните композицию:

а) поворотов против часовой стрелки данного отрезка $AB$ на угол $45^{\circ}$ вокруг не принадлежащей ему точки и на угол $30^{\circ}$ около какой-либо его внутренней точки;

б) параллельного переноса $\Delta ABC$ на вектор, равный $\vec{AB} + \vec{AC}$, и поворота на угол $60^{\circ}$ по часовой стрелке вокруг какой-нибудь точки $M$ плоскости;

в) параллельного переноса окружности на вектор $\vec{m}$ и осевой симметрии относительно произвольно выбранной прямой $l$.

а) поворотов против часовой стрелки данного отрезка $AB$ на угол $45^\circ$ вокруг не принадлежащей ему точки и на угол $30^\circ$ около какой-либо его внутренней точки

Дано:

Дан отрезок $AB$.

Первое преобразование $R_1$: поворот отрезка $AB$ на угол $\alpha_1 = 45^\circ$ против часовой стрелки вокруг точки $O_1$, не принадлежащей отрезку $AB$.

Второе преобразование $R_2$: поворот отрезка $AB$ (или его образа после $R_1$) на угол $\alpha_2 = 30^\circ$ против часовой стрелки вокруг внутренней точки $O_2$ отрезка $AB$ (или его образа).

Требуется выполнить композицию $R_2 \circ R_1$.

Найти:

Вид и основные характеристики (угол и центр) результирующего преобразования.

Решение:

Композиция двух поворотов с углами $\alpha_1$ и $\alpha_2$ является либо поворотом, либо параллельным переносом. Если сумма углов $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$ не равна $0^\circ$ или $360^\circ$ (по модулю $360^\circ$), то композиция является поворотом на угол $\alpha$. Если сумма углов равна $0^\circ$ или $360^\circ$ (по модулю $360^\circ$), то композиция является параллельным переносом.

В данном случае, оба поворота происходят против часовой стрелки, поэтому их углы складываются:

$\alpha = \alpha_1 + \alpha_2 = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ$.

Поскольку суммарный угол $75^\circ$ не равен $0^\circ \pmod{360^\circ}$, результирующее преобразование является поворотом.

Центр этого результирующего поворота является единственной неподвижной точкой композиции. Его точное положение зависит от конкретного расположения центров $O_1$ и $O_2$ исходных поворотов и может быть найдено геометрически.

Ответ:

Композиция является поворотом на угол $75^\circ$ против часовой стрелки. Центр этого поворота определяется геометрически положением центров исходных поворотов $O_1$ и $O_2$.

б) параллельного переноса $\triangle ABC$ на вектор, равный $\vec{AB} + \vec{AC}$, и поворота на угол $60^\circ$ по часовой стрелке вокруг какой-нибудь точки $M$ плоскости

Дано:

Дан треугольник $\triangle ABC$.

Первое преобразование $T$: параллельный перенос на вектор $\vec{p} = \vec{AB} + \vec{AC}$. Вектор $\vec{AB} + \vec{AC}$ является вектором $\vec{AD}$, где $D$ — четвертая вершина параллелограмма $ABDC$, построенного на сторонах $AB$ и $AC$, исходящих из вершины $A$.

Второе преобразование $R$: поворот на угол $\beta = 60^\circ$ по часовой стрелке вокруг точки $M$ плоскости.

Требуется выполнить композицию $R \circ T$ (сначала перенос, затем поворот).

Найти:

Вид и основные характеристики (угол и центр) результирующего преобразования.

Решение:

Композиция параллельного переноса и поворота, угол которого не равен $0^\circ$ или $360^\circ$, всегда является поворотом.

Угол результирующего поворота равен углу поворота $R$, то есть $60^\circ$ по часовой стрелке.

Центр результирующего поворота $O$ определяется взаимным расположением точки $M$ (центра поворота $R$) и вектора переноса $\vec{p}$. Этот центр является единственной неподвижной точкой композиции и может быть найден геометрически или аналитически. Например, точка $O$ удовлетворяет условию $R(T(O)) = O$.

Ответ:

Композиция является поворотом на угол $60^\circ$ по часовой стрелке. Центр этого поворота определяется положением точки $M$ и вектора переноса $\vec{AB} + \vec{AC}$.

в) параллельного переноса окружности на вектор $\vec{m}$ и осевой симметрии относительно произвольно выбранной прямой $l$

Дано:

Дана окружность.

Первое преобразование $T$: параллельный перенос окружности на вектор $\vec{m}$.

Второе преобразование $S_l$: осевая симметрия относительно произвольно выбранной прямой $l$.

Требуется выполнить композицию $S_l \circ T$ (сначала перенос, затем осевая симметрия).

Найти:

Вид результирующего преобразования.

Решение:

Как параллельный перенос, так и осевая симметрия являются изометриями, то есть преобразованиями, сохраняющими расстояния между точками, а следовательно, и форму, и размер геометрических фигур. Поэтому окружность после композиции этих преобразований останется окружностью того же радиуса.

Композиция параллельного переноса и осевой симметрии является скользящей симметрией. Скользящая симметрия — это изометрия, представляющая собой композицию осевой симметрии и параллельного переноса вдоль оси этой симметрии.

В общем случае (для произвольно выбранной прямой $l$ и произвольного вектора $\vec{m}$), композиция осевой симметрии и параллельного переноса является скользящей симметрией. В частных случаях, когда вектор переноса параллелен оси симметрии или перпендикулярен ей, скользящая симметрия может вырождаться в простую осевую симметрию или перенос, но более общим и точным названием для такой композиции является скользящая симметрия.

Ответ:

Композиция является скользящей симметрией. В результате окружность перейдет в окружность того же радиуса, положение которой определяется сначала переносом на вектор $\vec{m}$, а затем осевой симметрией относительно прямой $l$.