Номер 149, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

149. Даны луч $AB$ и не принадлежащая ему точка $O$. Постройте фигуру, на которую отображается этот луч при центральной симметрии относительно точки $O$.

Дано:

Луч $AB$ и точка $O$, не принадлежащая лучу $AB$.

Найти:

Построить фигуру, на которую отображается луч $AB$ при центральной симметрии относительно точки $O$.

Решение:

Центральная симметрия относительно точки $O$ является преобразованием плоскости, которое переводит любую точку $X$ в такую точку $X'$, что точка $O$ является серединой отрезка $XX'$. Это означает, что точки $X$, $O$, $X'$ лежат на одной прямой, и расстояние $XO$ равно расстоянию $OX'$.

Свойства центральной симметрии, важные для решения данной задачи:

• Центральная симметрия является движением (изометрией), то есть сохраняет расстояния между точками и углы.

• Центральная симметрия отображает прямую на параллельную ей прямую.

• Следовательно, луч отображается на параллельный ему луч. При этом направление луча меняется на противоположное относительно центра симметрии (то есть, если луч $AB$ имеет направление от $A$ к $B$, то его образ $A'B'$ будет иметь направление от $A'$ к $B'$, но вектор $\vec{A'B'}$ будет равен $-\vec{AB}$).

Для построения образа луча $AB$ при центральной симметрии относительно точки $O$ достаточно найти образы двух точек, определяющих этот луч, например, начало луча $A$ и любую другую точку $B$ на луче.

Построение:

1. Начертите заданный луч $AB$ (точка $A$ - начало луча) и отметьте точку $O$, которая не лежит на этом луче.

2. Найдите образ $A'$ точки $A$ при центральной симметрии относительно $O$. Для этого проведите прямую через точки $A$ и $O$. На этой прямой отложите от точки $O$ отрезок $OA'$, равный отрезку $AO$, таким образом, чтобы точки $A$ и $A'$ лежали по разные стороны от точки $O$. Точка $A'$ является образом точки $A$.

3. Найдите образ $B'$ точки $B$ при центральной симметрии относительно $O$. Для этого проведите прямую через точки $B$ и $O$. На этой прямой отложите от точки $O$ отрезок $OB'$, равный отрезку $BO$, таким образом, чтобы точки $B$ и $B'$ лежали по разные стороны от точки $O$. Точка $B'$ является образом точки $B$.

4. Проведите луч, начинающийся в точке $A'$ и проходящий через точку $B'$. Этот луч, обозначим его $A'B'$, является образом луча $AB$ при центральной симметрии относительно точки $O$. Луч $A'B'$ будет параллелен лучу $AB$ и направлен в противоположную сторону.

Ответ:

Фигура, на которую отображается луч $AB$ при центральной симметрии относительно точки $O$, является лучом $A'B'$, где $A'$ - образ точки $A$, а $B'$ - образ точки $B$. Луч $A'B'$ параллелен лучу $AB$ и направлен в противоположную сторону.