Страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Объясните, что такое преобразование плоскости.

2. Какое преобразование плоскости называется движением?

3. Какие свойства движения вы знаете?

4. Какие две точки называются симметричными:

а) относительно данной точки;

б) относительно данной прямой?

5. Какое преобразование называется:

а) центральной симметрией;

б) осевой симметрией?

6. Дайте определение понятия:

а) параллельный перенос;

б) поворот около данной точки.

7. Докажите, что движением является каждое из следующих преобразований:

а) центральная симметрия;

б) осевая симметрия;

в) параллельный перенос;

г) поворот около данной точки.

1. Объясните, что такое преобразование плоскости.

Преобразование плоскости (или отображение плоскости в себя) — это взаимно однозначное соответствие, которое каждой точке плоскости ставит в соответствие некоторую точку этой же плоскости. При этом каждая точка плоскости является образом некоторой точки, и для каждой точки существует единственная точка-образ.

Ответ:

2. Какое преобразование плоскости называется движением?

Преобразование плоскости называется движением (или изометрией), если оно сохраняет расстояния между точками. То есть, если для любых двух точек $A$ и $B$ плоскости, и их образов $A'$ и $B'$ при данном преобразовании, выполняется равенство расстояний $AB = A'B'$.

Ответ:

3. Какие свойства движения вы знаете?

Движение обладает следующими свойствами: оно переводит прямую в прямую, луч в луч, отрезок в отрезок; оно сохраняет расстояния между точками, то есть $AB = A'B'$; оно сохраняет величину углов, то есть угол между двумя пересекающимися прямыми равен углу между их образами; оно переводит параллельные прямые в параллельные прямые; оно переводит любую фигуру в равную ей фигуру.

Ответ:

4. Какие две точки называются симметричными: а) относительно данной точки; б) относительно данной прямой?

а) относительно данной точки

Две точки $A$ и $A'$ называются симметричными относительно данной точки $O$ (центра симметрии), если точка $O$ является серединой отрезка $AA'$. То есть, точка $A'$ лежит на прямой $AO$ по другую сторону от $O$ на расстоянии $OA$. Векторно это можно записать как $\vec{OA'} = -\vec{OA}$.

б) относительно данной прямой

Две точки $A$ и $A'$ называются симметричными относительно данной прямой $l$ (оси симметрии), если прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Это означает, что отрезок $AA'$ перпендикулярен прямой $l$, и точка пересечения отрезка $AA'$ с прямой $l$ является серединой этого отрезка.

Ответ:

5. Какое преобразование называется: а) центральной симметрией; б) осевой симметрией?

а) центральной симметрией

Преобразование плоскости, при котором каждая точка $P$ переходит в такую точку $P'$, что заданная точка $O$ (центр симметрии) является серединой отрезка $PP'$, называется центральной симметрией относительно точки $O$.

б) осевой симметрией

Преобразование плоскости, при котором каждая точка $P$ переходит в такую точку $P'$, что заданная прямая $l$ (ось симметрии) является серединным перпендикуляром к отрезку $PP'$, называется осевой симметрией относительно прямой $l$.

Ответ:

6. Дайте определение понятия: а) параллельный перенос; б) поворот около данной точки.

а) параллельный перенос

Параллельным переносом называется преобразование плоскости, при котором каждая точка $X$ переходит в точку $X'$ таким образом, что вектор $\vec{XX'}$ равен заданному ненулевому вектору $\vec{v}$. То есть, для любой точки $X$, её образ $X'$ определяется равенством $\vec{OX'} = \vec{OX} + \vec{v}$.

б) поворот около данной точки

Поворотом плоскости вокруг данной точки $O$ (центра поворота) на данный угол $\alpha$ называется такое преобразование, при котором каждая точка $X$ плоскости переходит в точку $X'$ таким образом, что: 1) $OX = OX'$; 2) угол поворота $\angle XOX'$ равен $\alpha$, и отсчитывается в заданном направлении (по часовой стрелке или против).

Ответ:

7. Докажите, что движением является каждое из следующих преобразований: а) центральная симметрия; б) осевая симметрия; в) параллельный перенос; г) поворот около данной точки.

а) центральная симметрия

Решение

Пусть $S_O$ — центральная симметрия относительно точки $O$. Возьмем две произвольные точки $A$ и $B$ на плоскости. Пусть $A' = S_O(A)$ и $B' = S_O(B)$ — их образы. По определению центральной симметрии, $O$ является серединой отрезков $AA'$ и $BB'$. Это означает, что $\vec{OA'} = -\vec{OA}$ и $\vec{OB'} = -\vec{OB}$. Расстояние между точками $A$ и $B$ равно длине вектора $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$. Расстояние между точками $A'$ и $B'$ равно длине вектора $\vec{A'B'} = \vec{OB'} - \vec{OA'}$. Подставляя выражения для $\vec{OA'}$ и $\vec{OB'}$: $\vec{A'B'} = (-\vec{OB}) - (-\vec{OA}) = \vec{OA} - \vec{OB} = -(\vec{OB} - \vec{OA}) = -\vec{AB}$. Тогда длина отрезка $A'B'$ равна $||\vec{A'B'}|| = ||-\vec{AB}|| = ||\vec{AB}||$. Следовательно, $A'B' = AB$. Таким образом, центральная симметрия сохраняет расстояния, а значит, является движением.

Ответ:

б) осевая симметрия

Решение

Пусть $S_l$ — осевая симметрия относительно прямой $l$. Возьмем две произвольные точки $A$ и $B$ на плоскости. Пусть $A' = S_l(A)$ и $B' = S_l(B)$ — их образы. Если точки $A$ и $B$ лежат на прямой $l$, то $A' = A$ и $B' = B$. Очевидно, $A'B' = AB$. Если хотя бы одна из точек не лежит на прямой $l$, то рассмотрим их координаты. Пусть ось симметрии $l$ совпадает с осью $Ox$. Тогда для точки $A=(x_A, y_A)$ её образ $A'$ будет $A'=(x_A, -y_A)$. Аналогично для точки $B=(x_B, y_B)$ её образ $B'$ будет $B'=(x_B, -y_B)$. Квадрат расстояния между $A$ и $B$ равен $AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$. Квадрат расстояния между $A'$ и $B'$ равен $A'B'^2 = (x_B - x_A)^2 + (-y_B - (-y_A))^2 = (x_B - x_A)^2 + (-(y_B - y_A))^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$. Так как $A'B'^2 = AB^2$, то $A'B' = AB$. Таким образом, осевая симметрия сохраняет расстояния, а значит, является движением.

Ответ:

в) параллельный перенос

Решение

Пусть $T_{\vec{v}}$ — параллельный перенос на вектор $\vec{v}$. Возьмем две произвольные точки $A$ и $B$ на плоскости. Пусть $A' = T_{\vec{v}}(A)$ и $B' = T_{\vec{v}}(B)$ — их образы. По определению параллельного переноса: $\vec{A'} = \vec{A} + \vec{v}$ $\vec{B'} = \vec{B} + \vec{v}$ Тогда вектор, соединяющий образы точек, равен: $\vec{A'B'} = \vec{B'} - \vec{A'} = (\vec{B} + \vec{v}) - (\vec{A} + \vec{v}) = \vec{B} - \vec{A} = \vec{AB}$. Поскольку векторы $\vec{A'B'}$ и $\vec{AB}$ равны, их длины тоже равны: $A'B' = AB$. Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояния, а значит, является движением.

Ответ:

г) поворот около данной точки

Решение

Пусть $R_{O, \alpha}$ — поворот вокруг точки $O$ на угол $\alpha$. Возьмем две произвольные точки $A$ и $B$ на плоскости. Пусть $A' = R_{O, \alpha}(A)$ и $B' = R_{O, \alpha}(B)$ — их образы. По определению поворота: 1. $OA = OA'$ (расстояние от центра поворота до точки равно расстоянию до её образа). 2. $OB = OB'$ (расстояние от центра поворота до точки равно расстоянию до её образа). 3. $\angle AOA' = \alpha$ (угол поворота для точки $A$). 4. $\angle BOB' = \alpha$ (угол поворота для точки $B$). Рассмотрим треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OA'B'$. У нас есть $OA = OA'$ и $OB = OB'$. Угол $\angle A'OB'$ получается из угла $\angle AOB$ поворотом на угол $\alpha$. Поэтому величина угла сохраняется: $\angle AOB = \angle A'OB'$. (Это можно показать, например, так: $\angle A'OB' = \angle A'OA + \angle AOB'$ (если лучи $OA'$ и $OB$ лежат по разные стороны от $OA$), или $\angle A'OB' = \angle AOB - \angle AOA' + \angle BOB'$ (если лучи $OA'$ и $OB'$ лежат в одном направлении поворота). В любом случае, при повороте все углы сохраняют свою величину, а значит $\angle AOB$ переходит в равный ему $\angle A'OB'$). Итак, в треугольниках $\triangle OAB$ и $\triangle OA'B'$ мы имеем две равные стороны ($OA=OA'$, $OB=OB'$) и равный угол между ними ($\angle AOB = \angle A'OB'$). По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (СУС), $\triangle OAB \cong \triangle OA'B'$. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AB = A'B'$. Таким образом, поворот сохраняет расстояния, а значит, является движением.

Ответ:

149. Даны луч $AB$ и не принадлежащая ему точка $O$. Постройте фигуру, на которую отображается этот луч при центральной симметрии относительно точки $O$.

Дано:

Луч $AB$ и точка $O$, не принадлежащая лучу $AB$.

Найти:

Построить фигуру, на которую отображается луч $AB$ при центральной симметрии относительно точки $O$.

Решение:

Центральная симметрия относительно точки $O$ является преобразованием плоскости, которое переводит любую точку $X$ в такую точку $X'$, что точка $O$ является серединой отрезка $XX'$. Это означает, что точки $X$, $O$, $X'$ лежат на одной прямой, и расстояние $XO$ равно расстоянию $OX'$.

Свойства центральной симметрии, важные для решения данной задачи:

• Центральная симметрия является движением (изометрией), то есть сохраняет расстояния между точками и углы.

• Центральная симметрия отображает прямую на параллельную ей прямую.

• Следовательно, луч отображается на параллельный ему луч. При этом направление луча меняется на противоположное относительно центра симметрии (то есть, если луч $AB$ имеет направление от $A$ к $B$, то его образ $A'B'$ будет иметь направление от $A'$ к $B'$, но вектор $\vec{A'B'}$ будет равен $-\vec{AB}$).

Для построения образа луча $AB$ при центральной симметрии относительно точки $O$ достаточно найти образы двух точек, определяющих этот луч, например, начало луча $A$ и любую другую точку $B$ на луче.

Построение:

1. Начертите заданный луч $AB$ (точка $A$ - начало луча) и отметьте точку $O$, которая не лежит на этом луче.

2. Найдите образ $A'$ точки $A$ при центральной симметрии относительно $O$. Для этого проведите прямую через точки $A$ и $O$. На этой прямой отложите от точки $O$ отрезок $OA'$, равный отрезку $AO$, таким образом, чтобы точки $A$ и $A'$ лежали по разные стороны от точки $O$. Точка $A'$ является образом точки $A$.

3. Найдите образ $B'$ точки $B$ при центральной симметрии относительно $O$. Для этого проведите прямую через точки $B$ и $O$. На этой прямой отложите от точки $O$ отрезок $OB'$, равный отрезку $BO$, таким образом, чтобы точки $B$ и $B'$ лежали по разные стороны от точки $O$. Точка $B'$ является образом точки $B$.

4. Проведите луч, начинающийся в точке $A'$ и проходящий через точку $B'$. Этот луч, обозначим его $A'B'$, является образом луча $AB$ при центральной симметрии относительно точки $O$. Луч $A'B'$ будет параллелен лучу $AB$ и направлен в противоположную сторону.

Ответ:

Фигура, на которую отображается луч $AB$ при центральной симметрии относительно точки $O$, является лучом $A'B'$, где $A'$ - образ точки $A$, а $B'$ - образ точки $B$. Луч $A'B'$ параллелен лучу $AB$ и направлен в противоположную сторону.

150. В $\triangle ABC \angle C = 100^\circ$, $AC = 3$ см, $BC = 4$ см. Постройте $\triangle ABC$ и его образ при осевой симметрии относительно прямой, содержащей его:

a) медиану $AM$;

б) высоту $AH$.

Дано:

Треугольник $ABC$, где $\angle C = 100^\circ$, $AC = 3 \text{ см}$, $BC = 4 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$AC = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$BC = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$\angle C = 100^\circ$ (для геометрических построений в данном случае перевод в радианы не требуется).

Найти:

Построить $\triangle ABC$ и его образ при осевой симметрии относительно прямой, содержащей:

а) медиану $AM$;

б) высоту $AH$.

Решение:

Построение треугольника $ABC$:

1. Начертите луч $CX$.

2. Отложите на луче $CX$ от точки $C$ отрезок $CB = 4 \text{ см}$. Точка $B$ - конец этого отрезка.

3. С помощью транспортира или циркуля и линейки постройте угол $\angle YCB = 100^\circ$ с вершиной в точке $C$ и одной из сторон $CB$. Луч $CY$ будет второй стороной угла.

4. Отложите на луче $CY$ от точки $C$ отрезок $CA = 3 \text{ см}$. Точка $A$ - конец этого отрезка.

5. Соедините точки $A$ и $B$ отрезком. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

а) медиану $AM$

Построение медианы $AM$ и образа $\triangle ABC$ при симметрии относительно прямой, содержащей $AM$:

1. Найдите середину $M$ отрезка $BC$. Для этого из точек $B$ и $C$ проведите две окружности (или дуги) одинакового радиуса (большего половины длины $BC$) так, чтобы они пересеклись в двух точках. Соедините эти точки прямой. Эта прямая является серединным перпендикуляром к $BC$ и пересечет $BC$ в его середине $M$.

2. Соедините вершину $A$ с точкой $M$. Отрезок $AM$ является медианой. Прямая, содержащая медиану $AM$, будет осью симметрии.

3. Для построения образа $\triangle A'B'C'$ при осевой симметрии относительно прямой $AM$:

   • Точка $A$ лежит на оси симметрии $AM$, поэтому ее образ $A'$ совпадает с $A$.

   • Точка $M$ лежит на оси симметрии $AM$, поэтому ее образ $M'$ совпадает с $M$.

   • Для построения образа $C'$ точки $C$: Проведите прямую, проходящую через $C$ и перпендикулярную прямой $AM$. Обозначьте точку пересечения перпендикуляра с прямой $AM$ как $K$. Отложите на этой перпендикулярной прямой от точки $K$ отрезок $KC'$ равный $CK$ по другую сторону от $AM$ относительно $C$. Точка $C'$ является образом $C$.

   • Для построения образа $B'$ точки $B$: Аналогично, проведите прямую, проходящую через $B$ и перпендикулярную прямой $AM$. Обозначьте точку пересечения перпендикуляра с прямой $AM$ как $L$. Отложите на этой перпендикулярной прямой от точки $L$ отрезок $LB'$ равный $BL$ по другую сторону от $AM$ относительно $B$. Точка $B'$ является образом $B$.

4. Соедините полученные точки $A'$, $B'$, $C'$ отрезками. Треугольник $\triangle A'B'C'$ является образом $\triangle ABC$ при осевой симметрии относительно прямой, содержащей медиану $AM$.

Ответ: Описано построение треугольника $ABC$ и его образа при осевой симметрии относительно прямой, содержащей медиану $AM$.

б) высоту $AH$

Построение высоты $AH$ и образа $\triangle ABC$ при симметрии относительно прямой, содержащей $AH$:

1. Поскольку угол $C = 100^\circ$ (тупой), высота $AH$ из вершины $A$ к стороне $BC$ будет падать на продолжение стороны $BC$ за точку $C$.

2. Продлите отрезок $BC$ за точку $C$, чтобы получить прямую, содержащую $BC$.

3. Из точки $A$ опустите перпендикуляр на прямую, содержащую отрезок $BC$. Для этого:

   • Поставьте циркуль в точку $A$ и проведите дугу, пересекающую прямую $BC$ (или ее продолжение) в двух точках (например, $P$ и $Q$).

   • Из точек $P$ и $Q$ проведите две дуги одинакового, достаточно большого радиуса, которые пересекутся по другую сторону от прямой $BC$ (или с той же стороны, но дальше от $A$).

   • Соедините точку $A$ с точкой пересечения этих дуг. Эта прямая будет перпендикулярна прямой $BC$. Точка пересечения этого перпендикуляра с прямой $BC$ (или ее продолжением) является основанием высоты $H$. Отрезок $AH$ - высота.

4. Прямая, содержащая высоту $AH$, будет осью симметрии.

5. Для построения образа $\triangle A'B'C'$ при осевой симметрии относительно прямой $AH$:

   • Точка $A$ лежит на оси симметрии $AH$, поэтому ее образ $A'$ совпадает с $A$.

   • Точка $H$ лежит на оси симметрии $AH$, поэтому ее образ $H'$ совпадает с $H$.

   • Для построения образа $B'$ точки $B$: Проведите прямую, проходящую через $B$ и перпендикулярную прямой $AH$. Обозначьте точку пересечения перпендикуляра с прямой $AH$ как $K$. Отложите на этой перпендикулярной прямой от точки $K$ отрезок $KB'$ равный $BK$ по другую сторону от $AH$ относительно $B$. Точка $B'$ является образом $B$.

   • Для построения образа $C'$ точки $C$: Аналогично, проведите прямую, проходящую через $C$ и перпендикулярную прямой $AH$. Обозначьте точку пересечения перпендикуляра с прямой $AH$ как $L$. Отложите на этой перпендикулярной прямой от точки $L$ отрезок $LC'$ равный $CL$ по другую сторону от $AH$ относительно $C$. Точка $C'$ является образом $C$.

6. Соедините полученные точки $A'$, $B'$, $C'$ отрезками. Треугольник $\triangle A'B'C'$ является образом $\triangle ABC$ при осевой симметрии относительно прямой, содержащей высоту $AH$.

Ответ: Описано построение треугольника $ABC$ и его образа при осевой симметрии относительно прямой, содержащей высоту $AH$.

151. При симметрии относительно прямой, проходящей через вершину $A$ треугольника $ABC$, точка $B$ отображается на точку $C$. Докажите, что $\triangle ABC$ – равнобедренный.

Дано:

треугольник $\triangle ABC$;

прямая $l$ проходит через вершину $A$;

симметрия относительно прямой $l$ отображает точку $B$ на точку $C$.

Найти:

доказать, что $\triangle ABC$ — равнобедренный.

Решение:

Пусть $l$ — прямая, относительно которой производится симметрия.

По условию, прямая $l$ проходит через вершину $A$ треугольника $ABC$. Это означает, что точка $A$ лежит на оси симметрии $l$.

Свойство осевой симметрии заключается в том, что любая точка, лежащая на оси симметрии, отображается сама в себя. Следовательно, при симметрии относительно прямой $l$, точка $A$ отображается в точку $A$ ($A \rightarrow A$).

По условию, при симметрии относительно прямой $l$, точка $B$ отображается на точку $C$ ($B \rightarrow C$).

Осевая симметрия является движением (изометрией), а любое движение сохраняет расстояния между точками. Это означает, что расстояние между двумя точками равно расстоянию между их образами.

Рассмотрим отрезок $AB$. Точка $A$ отображается в $A$, а точка $B$ отображается в $C$. Следовательно, отрезок $AB$ отображается в отрезок $AC$.

Из свойства сохранения расстояний при симметрии следует, что длина отрезка $AB$ равна длине отрезка $AC$. То есть, $AB = AC$.

По определению, треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным треугольником. В данном случае, стороны $AB$ и $AC$ равны.

Следовательно, треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$ и равными боковыми сторонами $AB$ и $AC$.

Ответ:

треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным, так как при симметрии относительно прямой, проходящей через вершину $A$ и отображающей $B$ в $C$, сохраняется расстояние $AB = AC$.

152. Даны угол ABC и вектор $ \vec{n} $ (рисунок 96). Постройте образ этого угла при параллельном переносе на вектор $ \vec{n} $.

Рисунок 96

Дано:

угол $ABC$, вектор $\vec{n}$

Найти:

образ угла $ABC$ при параллельном переносе на вектор $\vec{n}$

Решение:

Для построения образа угла $ABC$ при параллельном переносе на вектор $\vec{n}$ выполним следующие действия:

параллельный перенос — это изометрическое преобразование, которое перемещает каждую точку фигуры на одно и то же расстояние в одном и том же направлении. при параллельном переносе сохраняется форма, размер и ориентация фигуры. таким образом, образ угла $ABC$ будет углом, равным исходному.

вершина угла является ключевой точкой для его определения. первым шагом является нахождение образа вершины $B$. для этого отложим от точки $B$ вектор, равный заданному вектору $\vec{n}$. конец этого вектора будет новой вершиной $B'$, которая является образом вершины $B$ при данном параллельном переносе. если вектор $\vec{n}$ на рисунке указывает на 3 единицы вправо, то точка $B'$ будет находиться на 3 единицы вправо от точки $B$.

угол состоит из двух лучей, исходящих из вершины. для построения образа луча $BA$ достаточно перенести одну из его точек, кроме вершины, например точку $A$, на вектор $\vec{n}$. полученная точка $A'$ будет лежать на образе луча $BA$. аналогично, для построения образа луча $BC$ перенесем точку $C$ на вектор $\vec{n}$. полученная точка $C'$ будет лежать на образе луча $BC$.

после переноса вершины $B$ в $B'$ и вспомогательных точек $A$ в $A'$, $C$ в $C'$, соединим точку $B'$ с точкой $A'$ лучом $B'A'$ и точку $B'$ с точкой $C'$ лучом $B'C'$. полученный угол $A'B'C'$ является образом исходного угла $ABC$ при параллельном переносе на вектор $\vec{n}$.

Ответ: Образ угла $ABC$ при параллельном переносе на вектор $\vec{n}$ строится путем параллельного переноса его вершины $B$ и вспомогательных точек $A$ и $C$ на лучах на заданный вектор $\vec{n}$, после чего строятся лучи $B'A'$ и $B'C'$, образующие искомый угол $A'B'C'$.