Страница 68 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

156. В равностороннем треугольнике $ABC$ медианы $AM$ и $BN$ пересекаются в точке $O$. Установите, композицией каких двух движений $\triangle AON$ может быть переведен в $\triangle BOM$.

Дано:

Равносторонний треугольник $ABC$.

Медианы $AM$ и $BN$ пересекаются в точке $O$.

Найти:

Композицию двух движений, переводящих $\triangle AON$ в $\triangle BOM$.

Решение:

Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, все его стороны равны ($AB=BC=CA$) и все углы равны ($ \angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ $). Медианы в равностороннем треугольнике также являются высотами и биссектрисами углов. Точка пересечения медиан $O$ является центром треугольника (центроидом, центром описанной и вписанной окружностей).

1. Докажем конгруэнтность треугольников $\triangle AON$ и $\triangle BOM$:

• Так как $AM$ и $BN$ - медианы равностороннего треугольника, их длины равны: $AM = BN$.

• Точка $O$ делит медианы в отношении $2:1$, считая от вершины. Следовательно, $AO = \frac{2}{3}AM$ и $BO = \frac{2}{3}BN$. Поскольку $AM=BN$, то $AO=BO$.

• Аналогично, $ON = \frac{1}{3}BN$ и $OM = \frac{1}{3}AM$. Поскольку $AM=BN$, то $ON=OM$.

• В равностороннем треугольнике медианы являются также высотами. $AM \perp BC$ и $BN \perp AC$.

• Рассмотрим $\triangle AON$. $BN$ является биссектрисой угла $B$, $AM$ является биссектрисой угла $A$. Поскольку $O$ является точкой пересечения медиан (и, следовательно, биссектрис), то $\angle OAN = \frac{1}{2}\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle AON$ ($ON \perp AC$, так как $BN$ - высота), $\angle AON = 90^\circ - \angle OAN = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

• Аналогично, рассмотрим $\triangle BOM$. $AM$ является биссектрисой угла $A$, $BN$ является биссектрисой угла $B$. $\angle OBM = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle BOM$ ($OM \perp BC$, так как $AM$ - высота), $\angle BOM = 90^\circ - \angle OBM = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

• Таким образом, $AO=BO$, $ON=OM$ и $\angle AON = \angle BOM = 60^\circ$. По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS), $\triangle AON \cong \triangle BOM$.

2. Установление композиции двух движений:

Поскольку треугольники $\triangle AON$ и $\triangle BOM$ конгруэнтны, существует изометрия, переводящая один в другой. Заметим, что ориентация этих треугольников противоположна. Если рассмотреть обход вершин $A \to O \to N$ и $B \to O \to M$, то при типичном изображении равностороннего треугольника с вершиной $A$ вверху, $B$ справа внизу, $C$ слева внизу, обход $A \to O \to N$ будет по часовой стрелке, а обход $B \to O \to M$ будет против часовой стрелки. Изменение ориентации означает, что одна из компонент композиции должна быть отражением.

Рассмотрим следующую композицию движений:

Первое движение: Отражение относительно прямой $AM$.

• При отражении относительно прямой $AM$ (содержащей отрезок $AO$):

• Точка $A$ переходит в себя ($A \to A$).

• Точка $O$ переходит в себя ($O \to O$).

• Точка $N$ (которая лежит на $AC$) переходит в некоторую точку $N'$ такую, что прямая $AM$ является перпендикулярным биссектором отрезка $NN'$. Таким образом, треугольник $\triangle AON$ переходит в $\triangle AON'$. Углы $\angle AON$ и $\angle AON'$ будут равны по величине ($60^\circ$), но будут располагаться по разные стороны от прямой $AM$.

Второе движение: Поворот вокруг точки $O$ на $120^\circ$ против часовой стрелки.

• Центр вращения - точка $O$. Угол вращения - $120^\circ$ против часовой стрелки.

• В равностороннем треугольнике $O$ является центром симметрии. Угол $\angle AOB = 120^\circ$. Поэтому при повороте вокруг $O$ на $120^\circ$ против часовой стрелки точка $A$ переходит в точку $B$ ($A \to B$).

• Рассмотрим точку $N'$. Эта точка является отражением $N$ относительно $AM$. Поскольку $AM$ и $BN$ являются медианами равностороннего треугольника, $AO=BO$ и $ON=OM$. Также, при повороте вокруг $O$ на $120^\circ$ против часовой стрелки весь треугольник $ABC$ переходит в $BCA$. Точка $N$ (середина $AC$) при этом повороте перейдет в середину $BA$. Точка $M$ (середина $BC$) при повороте на $120^\circ$ против часовой стрелки перейдет в середину $CA$ (т.е. в $N$).

• Ранее мы установили, что $\angle AON = 60^\circ$ и $\angle BOM = 60^\circ$. Пусть $OA$ находится под углом $\theta_A$ к некоторой оси. Тогда $ON$ находится под углом $\theta_A + 60^\circ$ (или $\theta_A - 60^\circ$ в зависимости от ориентации). После отражения $N \to N'$, угловая позиция $ON'$ становится $\theta_A - 60^\circ$ (или $\theta_A + 60^\circ$). При повороте на $120^\circ$ против часовой стрелки, $OA$ переходит в $OB$, то есть угол становится $\theta_A + 120^\circ$. Вектор $ON'$ перейдет в новый вектор, имеющий угол $(\theta_A \mp 60^\circ) + 120^\circ = \theta_A + 120^\circ \mp 60^\circ$. Если $ON'$ был относительно $OA$ под углом $-60^\circ$, то после поворота он будет под углом $120^\circ - 60^\circ = 60^\circ$ относительно $OA$, что является $OB$ под углом $60^\circ$ или $OM$ под углом $-60^\circ$ относительно $OB$. Вектор $OM$ относительно $OB$ имеет угловую позицию $-60^\circ$. То есть, $(x_{ON'} \cos 120^\circ - y_{ON'} \sin 120^\circ, x_{ON'} \sin 120^\circ + y_{ON'} \cos 120^\circ)$ совпадает с координатами $M$. Таким образом, точка $N'$ переходит в точку $M$ ($N' \to M$).

Следовательно, композиция отражения $\triangle AON$ относительно прямой $AM$, а затем поворота полученного треугольника $\triangle AON'$ вокруг точки $O$ на $120^\circ$ против часовой стрелки, переводит $\triangle AON$ в $\triangle BOM$.

Ответ:

Композиция двух движений, переводящих $\triangle AON$ в $\triangle BOM$, состоит из:

1. Отражения относительно прямой $AM$.

2. Поворота вокруг точки $O$ на $120^\circ$ (против часовой стрелки).

157. a) В равностороннем треугольнике $ABC$ медианы пересекаются в точке $O$. Докажите, что при повороте около точки $O$ на угол $120^\circ$ треугольник $ABC$ отображается на себя.

б) Докажите, что не существует центрально-симметричного многоугольника с нечетным числом сторон.

а) Докажите, что при повороте около точки $O$ на угол $120^\circ$ треугольник $ABC$ отображается на себя.

Дано:

Равносторонний треугольник $ABC$.

Точка $O$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$.

Найти:

Доказать, что при повороте вокруг точки $O$ на угол $120^\circ$ треугольник $ABC$ отображается на себя.

Решение:

В равностороннем треугольнике медианы являются также биссектрисами углов и высотами. Точка $O$, являющаяся точкой пересечения медиан, также является центром описанной окружности и центром вписанной окружности. Это означает, что точка $O$ равноудалена от всех вершин треугольника: $OA = OB = OC$.

Рассмотрим углы, образованные отрезками, соединяющими центр $O$ с вершинами треугольника. Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, он обладает поворотной симметрией. Точка $O$ является центром этой симметрии.

Углы $\angle AOB$, $\angle BOC$ и $\angle COA$ образованы отрезками $OA, OB, OC$. Сумма этих углов составляет $360^\circ$. В силу симметрии равностороннего треугольника эти углы равны между собой:

$\angle AOB = \angle BOC = \angle COA = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$.

Теперь рассмотрим поворот вокруг точки $O$ на угол $120^\circ$.

При повороте на $120^\circ$ против часовой стрелки (или по часовой, это не принципиально для симметрии):

• Вершина $A$ переходит в вершину $B$, так как $OA = OB$ и $\angle AOB = 120^\circ$.
• Вершина $B$ переходит в вершину $C$, так как $OB = OC$ и $\angle BOC = 120^\circ$.
• Вершина $C$ переходит в вершину $A$, так как $OC = OA$ и $\angle COA = 120^\circ$.

Поскольку при данном повороте каждая вершина треугольника $ABC$ отображается на другую вершину того же треугольника, и поворот является изометрическим преобразованием (сохраняет расстояния и углы), то весь треугольник $ABC$ отображается на себя. То есть, его образ совпадает с исходным треугольником.

Ответ: Доказано.

б) Докажите, что не существует центрально-симметричного многоугольника с нечетным числом сторон.

Дано:

Многоугольник с нечетным числом сторон $n$, где $n \in \{3, 5, 7, \dots\}$.

Найти:

Доказать, что такой многоугольник не может быть центрально-симметричным.

Решение:

Предположим, что существует центрально-симметричный многоугольник с нечетным числом сторон $n$. Пусть $P$ — центр симметрии этого многоугольника.

По определению центральной симметрии, для любой точки $X$ многоугольника существует точка $X'$ в этом же многоугольнике, такая что $P$ является серединой отрезка $XX'$.

Рассмотрим вершины многоугольника. Если многоугольник центрально-симметричен относительно точки $P$, то для каждой вершины $V_i$ должна существовать соответствующая вершина $V_j$ такая, что $P$ является серединой отрезка $V_iV_j$.

Существует два случая для отображения вершин под действием центральной симметрии:

1. Вершина $V_i$ отображается сама в себя ($V_i = V_i'$). Это возможно только в том случае, если $V_i$ совпадает с центром симметрии $P$. Однако, центр симметрии многоугольника (если он существует) находится внутри многоугольника (или на его границе, но не является его вершиной в общем случае). Для невырожденного многоугольника вершина не может быть центром симметрии.
2. Вершина $V_i$ отображается в другую вершину $V_j$ ($V_i' = V_j$, где $j \ne i$). В этом случае $P$ является серединой отрезка $V_iV_j$. Если $V_i$ отображается в $V_j$, то $V_j$ также отображается в $V_i$ под действием той же центральной симметрии. Таким образом, вершины многоугольника должны быть разбиты на пары $(V_i, V_j)$ такие, что каждая пара симметрична относительно $P$.

Если вершины многоугольника могут быть разбиты на такие пары, то общее число вершин многоугольника должно быть четным. Ведь каждая вершина $V_i$ имеет свою уникальную "парную" вершину $V_j$, и наоборот. Таким образом, количество вершин должно быть $2k$ для некоторого целого $k$.

Поскольку число сторон многоугольника равно числу его вершин, это означает, что центрально-симметричный многоугольник должен иметь четное число сторон.

Однако в условии сказано, что многоугольник имеет нечетное число сторон $n$. Нечетное число не может быть разбито на пары. Следовательно, не может существовать центрально-симметричного многоугольника с нечетным числом сторон.

Ответ: Доказано.