Номер 157, страница 68 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

157. a) В равностороннем треугольнике $ABC$ медианы пересекаются в точке $O$. Докажите, что при повороте около точки $O$ на угол $120^\circ$ треугольник $ABC$ отображается на себя.

б) Докажите, что не существует центрально-симметричного многоугольника с нечетным числом сторон.

а) Докажите, что при повороте около точки $O$ на угол $120^\circ$ треугольник $ABC$ отображается на себя.

Дано:

Равносторонний треугольник $ABC$.

Точка $O$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$.

Найти:

Доказать, что при повороте вокруг точки $O$ на угол $120^\circ$ треугольник $ABC$ отображается на себя.

Решение:

В равностороннем треугольнике медианы являются также биссектрисами углов и высотами. Точка $O$, являющаяся точкой пересечения медиан, также является центром описанной окружности и центром вписанной окружности. Это означает, что точка $O$ равноудалена от всех вершин треугольника: $OA = OB = OC$.

Рассмотрим углы, образованные отрезками, соединяющими центр $O$ с вершинами треугольника. Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, он обладает поворотной симметрией. Точка $O$ является центром этой симметрии.

Углы $\angle AOB$, $\angle BOC$ и $\angle COA$ образованы отрезками $OA, OB, OC$. Сумма этих углов составляет $360^\circ$. В силу симметрии равностороннего треугольника эти углы равны между собой:

$\angle AOB = \angle BOC = \angle COA = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$.

Теперь рассмотрим поворот вокруг точки $O$ на угол $120^\circ$.

При повороте на $120^\circ$ против часовой стрелки (или по часовой, это не принципиально для симметрии):

• Вершина $A$ переходит в вершину $B$, так как $OA = OB$ и $\angle AOB = 120^\circ$.
• Вершина $B$ переходит в вершину $C$, так как $OB = OC$ и $\angle BOC = 120^\circ$.
• Вершина $C$ переходит в вершину $A$, так как $OC = OA$ и $\angle COA = 120^\circ$.

Поскольку при данном повороте каждая вершина треугольника $ABC$ отображается на другую вершину того же треугольника, и поворот является изометрическим преобразованием (сохраняет расстояния и углы), то весь треугольник $ABC$ отображается на себя. То есть, его образ совпадает с исходным треугольником.

Ответ: Доказано.

б) Докажите, что не существует центрально-симметричного многоугольника с нечетным числом сторон.

Дано:

Многоугольник с нечетным числом сторон $n$, где $n \in \{3, 5, 7, \dots\}$.

Найти:

Доказать, что такой многоугольник не может быть центрально-симметричным.

Решение:

Предположим, что существует центрально-симметричный многоугольник с нечетным числом сторон $n$. Пусть $P$ — центр симметрии этого многоугольника.

По определению центральной симметрии, для любой точки $X$ многоугольника существует точка $X'$ в этом же многоугольнике, такая что $P$ является серединой отрезка $XX'$.

Рассмотрим вершины многоугольника. Если многоугольник центрально-симметричен относительно точки $P$, то для каждой вершины $V_i$ должна существовать соответствующая вершина $V_j$ такая, что $P$ является серединой отрезка $V_iV_j$.

Существует два случая для отображения вершин под действием центральной симметрии:

1. Вершина $V_i$ отображается сама в себя ($V_i = V_i'$). Это возможно только в том случае, если $V_i$ совпадает с центром симметрии $P$. Однако, центр симметрии многоугольника (если он существует) находится внутри многоугольника (или на его границе, но не является его вершиной в общем случае). Для невырожденного многоугольника вершина не может быть центром симметрии.
2. Вершина $V_i$ отображается в другую вершину $V_j$ ($V_i' = V_j$, где $j \ne i$). В этом случае $P$ является серединой отрезка $V_iV_j$. Если $V_i$ отображается в $V_j$, то $V_j$ также отображается в $V_i$ под действием той же центральной симметрии. Таким образом, вершины многоугольника должны быть разбиты на пары $(V_i, V_j)$ такие, что каждая пара симметрична относительно $P$.

Если вершины многоугольника могут быть разбиты на такие пары, то общее число вершин многоугольника должно быть четным. Ведь каждая вершина $V_i$ имеет свою уникальную "парную" вершину $V_j$, и наоборот. Таким образом, количество вершин должно быть $2k$ для некоторого целого $k$.

Поскольку число сторон многоугольника равно числу его вершин, это означает, что центрально-симметричный многоугольник должен иметь четное число сторон.

Однако в условии сказано, что многоугольник имеет нечетное число сторон $n$. Нечетное число не может быть разбито на пары. Следовательно, не может существовать центрально-симметричного многоугольника с нечетным числом сторон.

Ответ: Доказано.