Номер 163, страница 72 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

163.
a) Постройте шестиугольник, который при повороте вокруг некоторой точки на $x^\circ$, $2x^\circ$, $3x^\circ$ отобразится сам на себя.
б) Имеет ли построенный в задаче а) шестиугольник центр симметрии; ось симметрии? Если имеет, то укажите их.

a) Постройте шестиугольник, который при повороте вокруг некоторой точки на x°, 2x°, 3x° отобразится сам на себя.

Дано:

Шестиугольник, который при поворотах на углы $x^\circ$, $2x^\circ$, $3x^\circ$ вокруг некоторой точки отображается сам на себя.

Найти:

Вид такого шестиугольника.

Решение:

Для того чтобы шестиугольник отображался сам на себя при поворотах на углы $x^\circ$, $2x^\circ$, $3x^\circ$ вокруг некоторой точки (центра поворота), он должен обладать поворотной симметрией.

Это означает, что углы $x^\circ$, $2x^\circ$, $3x^\circ$ должны быть кратны наименьшему углу поворота $\alpha$, при котором шестиугольник отображается сам на себя. Также, полный круг $360^\circ$ должен быть кратен $\alpha$. То есть, $360^\circ = n \cdot \alpha$, где $n$ – порядок поворотной симметрии.

Из условия, что повороты на $x^\circ$, $2x^\circ$, $3x^\circ$ отображают шестиугольник на себя, следует, что $x^\circ$ должен быть наименьшим углом поворота или кратным наименьшего угла. Если $x^\circ$ является наименьшим углом поворота, то порядок симметрии $n$ равен $360/x$.

Рассмотрим правильный шестиугольник. Правильный шестиугольник обладает поворотной симметрией порядка 6. Наименьший угол поворота, при котором правильный шестиугольник отображается сам на себя, равен $360^\circ / 6 = 60^\circ$.

Если мы примем $x^\circ = 60^\circ$, то заданные углы поворота будут $60^\circ$, $2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$, и $3 \cdot 60^\circ = 180^\circ$. Все эти углы являются кратными $60^\circ$, и при таких поворотах правильный шестиугольник отобразится сам на себя.

Центром поворота для правильного шестиугольника является его геометрический центр.

Таким образом, правильный шестиугольник является искомым шестиугольником.

Ответ: Правильный шестиугольник.

б) Имеет ли построенный в задаче а) шестиугольник центр симметрии; ось симметрии? Если имеет, то укажите их.

Дано:

Построенный в пункте а) шестиугольник (правильный шестиугольник).

Найти:

Наличие центра симметрии и осей симметрии, и их указание.

Решение:

Построенный в задаче а) шестиугольник является правильным шестиугольником.

Центр симметрии: Правильный шестиугольник имеет центр симметрии. Центром симметрии является его геометрический центр, который совпадает с центром описанной и вписанной окружностей. Любая точка, расположенная на правильном шестиугольнике, при центральной симметрии относительно этой точки отображается в другую точку шестиугольника, которая находится на том же расстоянии от центра, но в противоположном направлении.

Ось симметрии: Правильный шестиугольник также имеет оси симметрии.

Он имеет 6 осей симметрии:

1. Три оси симметрии проходят через противоположные вершины шестиугольника (например, через вершину $A_1$ и $A_4$, $A_2$ и $A_5$, $A_3$ и $A_6$ для шестиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$).

2. Три оси симметрии проходят через середины противоположных сторон шестиугольника (например, через середину стороны $A_1A_2$ и середину стороны $A_4A_5$, $A_2A_3$ и $A_5A_6$, $A_3A_4$ и $A_6A_1$).

Ответ: Да, построенный шестиугольник (правильный шестиугольник) имеет центр симметрии и оси симметрии. Центр симметрии: геометрический центр шестиугольника. Оси симметрии: три оси, проходящие через противоположные вершины, и три оси, проходящие через середины противоположных сторон.