Номер 166, страница 78 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

166. Дан треугольник со сторонами, равными 7 см, 6 см, 5 см.

Постройте треугольник, гомотетичный данному, с центром гомотетии в точке пересечения его медиан и коэффициентом гомотетии, равным:

а) $\frac{3}{2}$;

б) $-0,5$.

Сравните соответствующие углы данного и построенных треугольников.

Дано:

Треугольник ABC со сторонами $a = 7 \text{ см}$, $b = 6 \text{ см}$, $c = 5 \text{ см}$.

Центр гомотетии $G$ - точка пересечения медиан треугольника ABC.

Коэффициенты гомотетии: $k_1 = \frac{3}{2}$ и $k_2 = -0.5$.

Перевод в СИ: Не требуется, так как единицы измерения (сантиметры) являются стандартными для геометрических задач и используются последовательно.

Найти:

Построить треугольники $A'B'C'$ и $A''B''C''$ гомотетичные исходному.

Сравнить соответствующие углы исходного и построенных треугольников.

Решение:

Гомотетия — это преобразование подобия, которое переводит любую фигуру в подобную ей фигуру. При гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$, каждая точка $X$ фигуры отображается в точку $X'$ такую, что $\vec{OX'} = k \cdot \vec{OX}$.

Важнейшие свойства гомотетии, необходимые для решения данной задачи:

1. Гомотетия переводит отрезки в параллельные отрезки, длина которых изменяется в $|k|$ раз.

2. Гомотетия переводит углы в равные им углы. То есть углы фигуры сохраняются.

3. Треугольник переходит в подобный ему треугольник.

В данной задаче центром гомотетии является точка пересечения медиан (центроид) $G$ исходного треугольника ABC.

а) Постройте треугольник, гомотетичный данному, с центром гомотетии в точке пересечения его медиан и коэффициентом гомотетии, равным $ \frac{3}{2} $.

Для построения треугольника $A'B'C'$, гомотетичного треугольнику ABC с центром $G$ и коэффициентом $k = \frac{3}{2}$:

1. Сначала строим исходный треугольник ABC со сторонами 7 см, 6 см, 5 см. (Для проверки возможности построения: $5+6 > 7$, что истинно, значит треугольник существует).

2. Находим середины сторон и проводим медианы. Точка их пересечения - это центроид $G$, который будет центром гомотетии.

3. Для каждой вершины исходного треугольника (A, B, C) строим ее образ. Например, для вершины A:
Проводим луч $GA$. На этом луче откладываем точку $A'$ такую, что $GA' = \frac{3}{2} \cdot GA$.
Аналогично поступаем для вершин B и C, получая точки $B'$ и $C'$ соответственно, так что $GB' = \frac{3}{2} \cdot GB$ и $GC' = \frac{3}{2} \cdot GC$.

4. Соединяем точки $A'$, $B'$, $C'$ для получения искомого гомотетичного треугольника $A'B'C'$.

Стороны полученного треугольника $A'B'C'$ будут в $\frac{3}{2}$ раза больше сторон исходного треугольника ABC:

$a' = \frac{3}{2} \cdot 7 \text{ см} = 10.5 \text{ см}$

$b' = \frac{3}{2} \cdot 6 \text{ см} = 9 \text{ см}$

$c' = \frac{3}{2} \cdot 5 \text{ см} = 7.5 \text{ см}$

Ответ: Построен треугольник $A'B'C'$ со сторонами 10.5 см, 9 см, 7.5 см.

б) Постройте треугольник, гомотетичный данному, с центром гомотетии в точке пересечения его медиан и коэффициентом гомотетии, равным $-0.5$.

Для построения треугольника $A''B''C''$, гомотетичного треугольнику ABC с центром $G$ и коэффициентом $k = -0.5$:

1. Используем тот же исходный треугольник ABC и его центроид $G$.

2. Для каждой вершины исходного треугольника (A, B, C) строим ее образ. Например, для вершины A:
Поскольку коэффициент $k = -0.5$ отрицательный, точка $A''$ будет лежать на луче, противоположном лучу $GA$, проходящем через $G$.
Откладываем точку $A''$ такую, что $GA'' = |-0.5| \cdot GA = 0.5 \cdot GA$.
Аналогично поступаем для вершин B и C, получая точки $B''$ и $C''$ соответственно, так что $GB'' = 0.5 \cdot GB$ и $GC'' = 0.5 \cdot GC$.

3. Соединяем точки $A''$, $B''$, $C''$ для получения искомого гомотетичного треугольника $A''B''C''$.

Стороны полученного треугольника $A''B''C''$ будут в $|-0.5| = 0.5$ раза меньше сторон исходного треугольника ABC, а сам треугольник будет расположен по другую сторону от центра гомотетии $G$ по отношению к исходному треугольнику:

$a'' = |-0.5| \cdot 7 \text{ см} = 3.5 \text{ см}$

$b'' = |-0.5| \cdot 6 \text{ см} = 3 \text{ см}$

$c'' = |-0.5| \cdot 5 \text{ см} = 2.5 \text{ см}$

Ответ: Построен треугольник $A''B''C''$ со сторонами 3.5 см, 3 см, 2.5 см.

Сравните соответствующие углы данного и построенных треугольников.

Как было отмечено в свойствах гомотетии, это преобразование сохраняет величины углов. Это означает, что углы исходного треугольника ABC равны соответствующим углам гомотетичных треугольников $A'B'C'$ и $A''B''C''$.

Например, $\angle A' = \angle A$, $\angle B' = \angle B$, $\angle C' = \angle C$.

Аналогично, $\angle A'' = \angle A$, $\angle B'' = \angle B$, $\angle C'' = \angle C$.

Ответ: Соответствующие углы данного и построенных треугольников равны, так как гомотетия является преобразованием подобия, которое сохраняет величину углов.