Номер 165, страница 73 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

165. Запишите уравнение:

а) прямой, симметричной прямой $y = 2x + 5$ относительно начала координат;

б) прямой, полученной из прямой $y = 2x - 4$ поворотом вокруг начала координат на $90^\circ$ против часовой стрелки.

Дано:

а) Исходная прямая: $y = 2x + 5$

б) Исходная прямая: $y = 2x - 4$, угол поворота: $90^\circ$ против часовой стрелки относительно начала координат

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в общепринятых единицах.

Найти:

а) Уравнение прямой, симметричной данной относительно начала координат.

б) Уравнение прямой, полученной поворотом данной прямой вокруг начала координат на $90^\circ$ против часовой стрелки.

Решение:

а) прямой, симметричной прямой $y = 2x + 5$ относительно начала координат

Для нахождения уравнения прямой, симметричной данной прямой относительно начала координат $(0,0)$, необходимо учесть, что если точка $(x, y)$ лежит на исходной прямой, то симметричная ей точка $(-x, -y)$ будет лежать на новой прямой. Таким образом, в исходном уравнении $y = 2x + 5$ мы заменяем $x$ на $-x$ и $y$ на $-y$.

Подставим $-y$ вместо $y$ и $-x$ вместо $x$ в уравнение $y = 2x + 5$:

$-y = 2(-x) + 5$

Упростим выражение:

$-y = -2x + 5$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы выразить $y$:

$y = -(-2x) - 5$

$y = 2x - 5$

Ответ: $y = 2x - 5$

б) прямой, полученной из прямой $y = 2x - 4$ поворотом вокруг начала координат на $90^\circ$ против часовой стрелки.

При повороте точки $(x, y)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$ против часовой стрелки, новые координаты $(x', y')$ определяются формулами:

$x' = x \cos \alpha - y \sin \alpha$

$y' = x \sin \alpha + y \cos \alpha$

В данном случае угол поворота $\alpha = 90^\circ$. Значения тригонометрических функций для $90^\circ$ составляют $\cos 90^\circ = 0$ и $\sin 90^\circ = 1$.

Подставим эти значения в формулы преобразования:

$x' = x \cdot 0 - y \cdot 1 = -y$

$y' = x \cdot 1 + y \cdot 0 = x$

Из полученных уравнений выразим $x$ и $y$ через $x'$ и $y'$:

$x = y'$

$y = -x'$

Теперь подставим эти выражения для $x$ и $y$ в исходное уравнение прямой $y = 2x - 4$:

$-x' = 2(y') - 4$

Для удобства записи и соответствия стандартному виду уравнения прямой, заменим $x'$ обратно на $x$ и $y'$ на $y$:

$-x = 2y - 4$

Выразим $y$ из этого уравнения:

$2y = -x + 4$

Разделим обе части уравнения на $2$:

$y = \frac{-x + 4}{2}$

$y = -\frac{1}{2}x + 2$

Ответ: $y = -\frac{1}{2}x + 2$