Номер 169, страница 78 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

169. Дан ромб $ABCD$, в котором $AC = 8$ см, $BD = 6$ см.

а) Используя гомотетию с центром в точке $A$, постройте ромб, подобный данному, с коэффициентом подобия, равным $\frac{3}{4}$.

б) Найдите высоту построенного ромба.

Дано:
Ромб $ABCD$
Диагональ $AC = 8$ см
Диагональ $BD = 6$ см
Коэффициент гомотетии $k = \frac{3}{4}$
Центр гомотетии $O = A$

Перевод в СИ:
$AC = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$
$BD = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$k = \frac{3}{4}$ (безразмерная величина)

Найти:
а) Построить ромб, подобный данному, используя гомотетию.
б) Высоту построенного ромба ($h_1$).

Решение

а) Используя гомотетию с центром в точке A, постройте ромб, подобный данному, с коэффициентом подобия, равным $3/4$.

Гомотетия — это преобразование, при котором каждая точка $M$ отображается в точку $M'$ такую, что $\vec{AM'} = k \vec{AM}$, где $A$ — центр гомотетии, а $k$ — коэффициент. В данном случае, центр гомотетии совпадает с вершиной $A$ ромба $ABCD$, а коэффициент $k = \frac{3}{4}$. Поскольку точка $A$ является центром гомотетии, она отображается сама в себя, то есть $A' = A$.

Для построения нового ромба $A'B'C'D'$ (который будет $AB'C'D'$):

1. Постройте исходный ромб $ABCD$. Это можно сделать, нарисовав две взаимно перпендикулярные диагонали $AC$ и $BD$, которые делятся пополам в точке их пересечения (назовем ее $O$). Так $AO = 4$ см, $OC = 4$ см, $BO = 3$ см, $OD = 3$ см. Затем соедините концы диагоналей.
2. Из центра гомотетии $A$ проведите лучи через вершины $B$, $C$, $D$.
3. На луче $AB$ отложите отрезок $AB'$ такой длины, чтобы $AB' = k \cdot AB = \frac{3}{4} AB$. Точка $B'$ будет образом точки $B$.
4. На луче $AC$ отложите отрезок $AC'$ такой длины, чтобы $AC' = k \cdot AC = \frac{3}{4} AC$. Точка $C'$ будет образом точки $C$. Поскольку $AC = 8$ см, $AC' = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6$ см.
5. На луче $AD$ отложите отрезок $AD'$ такой длины, чтобы $AD' = k \cdot AD = \frac{3}{4} AD$. Точка $D'$ будет образом точки $D$.
6. Соедините последовательно точки $A$, $B'$, $C'$, $D'$. Полученный четырехугольник $AB'C'D'$ является искомым ромбом.

Длины диагоналей нового ромба будут масштабированы в $k$ раз относительно исходных. Диагональ $AC$ нового ромба будет $AC' = k \cdot AC = \frac{3}{4} \cdot 8 \text{ см} = 6 \text{ см}$. Вторая диагональ $B'D'$ будет параллельна $BD$ и ее длина будет $B'D' = k \cdot BD = \frac{3}{4} \cdot 6 \text{ см} = \frac{18}{4} \text{ см} = 4.5 \text{ см}$.

Ответ: Искомый ромб $AB'C'D'$ построен путем масштабирования отрезков $AB$, $AC$, $AD$ из центра $A$ с коэффициентом $\frac{3}{4}$. Его диагонали $AC' = 6$ см и $B'D' = 4.5$ см.

б) Найдите высоту построенного ромба.

Высота ромба $h$ связана с его площадью $S$ и стороной $a$ формулой $S = a \cdot h$.

Сначала найдем сторону исходного ромба $ABCD$. Диагонали ромба делятся точкой пересечения $O$ пополам и взаимно перпендикулярны.Следовательно, $AO = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.$BO = \frac{BD}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

В прямоугольном треугольнике $AOB$ (с прямым углом при $O$) сторона ромба $a$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:$a^2 = AO^2 + BO^2$$a^2 = 4^2 + 3^2$$a^2 = 16 + 9$$a^2 = 25$$a = \sqrt{25} = 5$ см.

Площадь исходного ромба $S$ можно вычислить по формуле через диагонали:$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 6 \text{ см}$$S = \frac{1}{2} \cdot 48 \text{ см}^2$$S = 24 \text{ см}^2$.

Теперь найдем высоту исходного ромба $h$:$h = \frac{S}{a}$$h = \frac{24 \text{ см}^2}{5 \text{ см}}$$h = 4.8$ см.

При гомотетии с коэффициентом $k$, все линейные размеры фигуры (стороны, диагонали, высоты) изменяются в $k$ раз. Таким образом, высота $h_1$ построенного ромба $AB'C'D'$ будет в $k$ раз меньше высоты исходного ромба $ABCD$.$h_1 = k \cdot h$$h_1 = \frac{3}{4} \cdot 4.8 \text{ см}$$h_1 = 3 \cdot \left(\frac{4.8}{4}\right) \text{ см}$$h_1 = 3 \cdot 1.2 \text{ см}$$h_1 = 3.6$ см.

Ответ: Высота построенного ромба составляет $3.6$ см.