Номер 171, страница 79 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

171. Даны окружность с центром $O$ и радиусом 2 см и прямая, удаленная от точки $O$ на расстояние, равное 3 см. Найдите на окружности две точки, которые при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом, равным 2, отобразятся на точки, принадлежащие данной прямой.

Дано:

Окружность $C_1$ с центром $O$ и радиусом $R_1 = 2$ см. Прямая $l$, удаленная от точки $O$ на расстояние $d = 3$ см. Гомотетия $H$ с центром $O$ и коэффициентом $k = 2$.

Перевод в СИ:

$R_1 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$d = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
$k = 2$

Найти:

Две точки $A_1, A_2$ на окружности $C_1$, которые при гомотетии $H$ отображаются на точки $A'_1, A'_2$, принадлежащие прямой $l$.

Решение:

Пусть $C_1$ — данная окружность с центром $O$ и радиусом $R_1 = 2$ см. Пусть $A$ — искомая точка на окружности $C_1$.

При гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k = 2$, точка $A$ отображается в точку $A'$. Это означает, что $OA' = |k| \cdot OA = 2 \cdot OA$.

Поскольку точка $A$ лежит на окружности $C_1$, её расстояние от центра $O$ равно радиусу этой окружности, то есть $OA = R_1 = 2$ см.

Следовательно, расстояние от центра $O$ до отображенной точки $A'$ будет $OA' = 2 \cdot R_1 = 2 \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

Таким образом, отображенная точка $A'$ лежит на окружности $C_2$ с центром $O$ и радиусом $R_2 = 4$ см.

По условию, отображенная точка $A'$ принадлежит данной прямой $l$. Значит, точка $A'$ является точкой пересечения окружности $C_2$ и прямой $l$.

Расстояние от центра $O$ до прямой $l$ равно $d = 3$ см. Радиус окружности $C_2$ равен $R_2 = 4$ см.

Так как $d = 3 \text{ см} < R_2 = 4 \text{ см}$, прямая $l$ пересекает окружность $C_2$ в двух различных точках. Обозначим эти точки $A'_1$ и $A'_2$.

Для нахождения этих точек опустим перпендикуляр $OM$ из центра $O$ на прямую $l$. Длина этого перпендикуляра $OM = d = 3$ см.

Треугольник $OMA'_1$ (и $OMA'_2$) является прямоугольным с гипотенузой $OA'_1 = R_2 = 4$ см и катетом $OM = 3$ см.

По теореме Пифагора находим длину отрезка $MA'_1$: $MA'_1 = \sqrt{(OA'_1)^2 - (OM)^2} = \sqrt{R_2^2 - d^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$ см.

Таким образом, точки $A'_1$ и $A'_2$ расположены на прямой $l$ на расстоянии $\sqrt{7}$ см от точки $M$ по обе стороны от неё.

Теперь найдем искомые точки $A_1$ и $A_2$ на окружности $C_1$. Они являются прообразами точек $A'_1$ и $A'_2$ при гомотетии $H(O, k=2)$.

Если $A'$ является образом $A$ при гомотетии $H(O, k)$, то $A$ является образом $A'$ при гомотетии $H(O, 1/k)$. В нашем случае $1/k = 1/2$.

Следовательно, $A_1$ находится на отрезке $OA'_1$ так, что $OA_1 = \frac{1}{2} OA'_1$, и $A_2$ находится на отрезке $OA'_2$ так, что $OA_2 = \frac{1}{2} OA'_2$.

Так как $OA'_1 = OA'_2 = R_2 = 4$ см, то $OA_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ см} = 2 \text{ см}$ и $OA_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ см} = 2 \text{ см}$.

Это подтверждает, что точки $A_1$ и $A_2$ лежат на окружности $C_1$ (с радиусом 2 см), как и требуется по условию. Эти две точки находятся на пересечении окружности $C_1$ с лучами $OA'_1$ и $OA'_2$.

Ответ:

Две точки на окружности с центром $O$ и радиусом 2 см, которые лежат на отрезках, соединяющих центр $O$ с точками пересечения данной прямой и окружности с центром $O$ и радиусом 4 см.