Номер 173, страница 84 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

173. Подобны ли два треугольника, если:

а) два угла одного равны $60^{\circ}$ и $70^{\circ}$, а два угла второго – $50^{\circ}$ и $80^{\circ}$;

б) два угла одного равны $108^{\circ}$ и $20^{\circ}$, а второго – $52^{\circ}$ и $20^{\circ}$?

Дано:
a) Для первого треугольника ($T_1$): два угла равны $60^\circ$ и $70^\circ$.
Для второго треугольника ($T_2$): два угла равны $50^\circ$ и $80^\circ$.
б) Для первого треугольника ($T_3$): два угла равны $108^\circ$ и $20^\circ$.
Для второго треугольника ($T_4$): два угла равны $52^\circ$ и $20^\circ$.

Перевод в СИ:
Единицы измерения углов (градусы) не требуют перевода в систему СИ для данной задачи, так как сравнение углов происходит в одной системе.

Найти:
а) Подобны ли треугольники $T_1$ и $T_2$?
б) Подобны ли треугольники $T_3$ и $T_4$?

Решение:

Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника (признак подобия по двум углам, или AA-признак). Сумма углов в любом треугольнике всегда равна $180^\circ$. Зная два угла треугольника, третий угол можно найти по формуле: $180^\circ - (\text{первый угол} + \text{второй угол})$.

а) два угла одного равны 60° и 70°, а два угла второго – 50° и 80°

Для первого треугольника:
Известные углы: $60^\circ$ и $70^\circ$.
Третий угол: $180^\circ - (60^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.
Таким образом, углы первого треугольника составляют $50^\circ, 60^\circ, 70^\circ$.

Для второго треугольника:
Известные углы: $50^\circ$ и $80^\circ$.
Третий угол: $180^\circ - (50^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.
Таким образом, углы второго треугольника составляют $50^\circ, 50^\circ, 80^\circ$.

Сравним наборы углов двух треугольников:
Первый треугольник: $\{50^\circ, 60^\circ, 70^\circ\}$.
Второй треугольник: $\{50^\circ, 50^\circ, 80^\circ\}$.
Несмотря на наличие одного одинакового угла ($50^\circ$), остальные углы в наборах не совпадают. Для подобия необходимо равенство всех соответствующих углов.

Ответ: Нет, не подобны.

б) два угла одного равны 108° и 20°, а второго – 52° и 20°?

Для первого треугольника:
Известные углы: $108^\circ$ и $20^\circ$.
Третий угол: $180^\circ - (108^\circ + 20^\circ) = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$.
Таким образом, углы первого треугольника составляют $20^\circ, 52^\circ, 108^\circ$.

Для второго треугольника:
Известные углы: $52^\circ$ и $20^\circ$.
Третий угол: $180^\circ - (52^\circ + 20^\circ) = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.
Таким образом, углы второго треугольника составляют $20^\circ, 52^\circ, 108^\circ$.

Сравним наборы углов двух треугольников:
Первый треугольник: $\{20^\circ, 52^\circ, 108^\circ\}$.
Второй треугольник: $\{20^\circ, 52^\circ, 108^\circ\}$.
Наборы углов полностью совпадают. Все соответствующие углы равны.

Ответ: Да, подобны.