Страница 84 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Какие два треугольника называются подобными?

2. Сформулируйте и докажите признаки подобия двух треугольников.

3. Какие признаки подобия двух прямоугольных треугольников вы знаете?

1. Какие два треугольника называются подобными?

Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Ответ: Два треугольника подобны, если их углы соответственно равны и стороны, лежащие против равных углов, пропорциональны.

2. Сформулируйте и докажите признаки подобия двух треугольников.

Существуют три основных признака подобия треугольников:

1. Признак подобия по двум углам (УУ):
Формулировка: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство:
Пусть даны треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, в которых $\angle A = \angle A'$ и $\angle B = \angle B'$.
Поскольку сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$ и $\angle C' = 180^\circ - (\angle A' + \angle B')$. Из равенства углов $A$ и $A'$, $B$ и $B'$ следует, что $\angle C = \angle C'$.
Для доказательства пропорциональности сторон наложим $\triangle A'B'C'$ на $\triangle ABC$ так, чтобы вершина $A'$ совпала с $A$, а сторона $A'B'$ легла на $AB$, $A'C'$ на $AC$. Отметим на $AB$ точку $B_1$ и на $AC$ точку $C_1$ так, что $AB_1 = A'B'$ и $AC_1 = A'C'$. Тогда $\triangle AB_1C_1 \cong \triangle A'B'C'$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Поскольку $\angle B_1 = \angle B'$ (как соответствующие углы равных треугольников) и по условию $\angle B = \angle B'$, то $\angle B_1 = \angle B$. Это означает, что прямая $B_1C_1$ параллельна прямой $BC$ (по признаку параллельности прямых при секущей $AB$).
По теореме о пропорциональных отрезках (теореме Фалеса в расширенном виде) для параллельных линий $B_1C_1$ и $BC$, пересекающих стороны угла $A$, имеем $\frac{AB_1}{AB} = \frac{AC_1}{AC} = \frac{B_1C_1}{BC}$.
Так как $AB_1 = A'B'$, $AC_1 = A'C'$, $B_1C_1 = B'C'$, то получаем $\frac{A'B'}{AB} = \frac{A'C'}{AC} = \frac{B'C'}{BC}$. Таким образом, соответствующие стороны треугольников пропорциональны. Следовательно, треугольники подобны.

2. Признак подобия по двум сторонам и углу между ними (СУС):
Формулировка: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Доказательство:
Пусть даны треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, в которых $\angle A = \angle A'$ и $\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}$. Обозначим коэффициент пропорциональности $k = \frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}$.
Рассмотрим треугольник $A_1B_1C_1$, где $A_1 = A$, $B_1$ лежит на $AB$, $C_1$ лежит на $AC$, и $AB_1 = A'B'$, $AC_1 = A'C'$.
Поскольку $\frac{AB}{A'B'} = k$, то $AB = k \cdot A'B'$. Аналогично $AC = k \cdot A'C'$.
Тогда, если мы построим треугольник $A_1B_1C_1$ так, что $A_1 = A$, $A_1B_1$ совпадает с $AB$, $A_1C_1$ совпадает с $AC$, и $A_1B_1 = A'B'$, $A_1C_1 = A'C'$.
На луче $AB$ отложим отрезок $AB_2 = A'B'$, а на луче $AC$ отложим отрезок $AC_2 = A'C'$. Треугольник $AB_2C_2$ равен треугольнику $A'B'C'$ по двум сторонам и углу между ними ($AB_2 = A'B'$, $AC_2 = A'C'$, $\angle A = \angle A'$).
Из равенства $\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}$ следует $\frac{AB}{AB_2} = \frac{AC}{AC_2}$. Построим прямую $B_2C_2$.
Если $\triangle ABC$ подобен $\triangle A'B'C'$, то $\triangle ABC$ должен быть подобен $\triangle AB_2C_2$.
Поскольку $\frac{AB}{AB_2} = \frac{AC}{AC_2}$ и $\angle A$ - общий, то $\triangle ABC$ подобен $\triangle AB_2C_2$ (это следует из теоремы Фалеса и свойства о параллельных прямых, что $B_2C_2 \parallel BC$ ). Поскольку $\triangle AB_2C_2 \cong \triangle A'B'C'$, то $\triangle ABC$ подобен $\triangle A'B'C'$.

3. Признак подобия по трем сторонам (ССС):
Формулировка: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство:
Пусть даны треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, в которых $\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}$. Обозначим этот общий коэффициент пропорциональности $k$.
Построим треугольник $A_1B_1C_1$ так, чтобы он был равен $\triangle A'B'C'$ и при этом $\angle A_1 = \angle A'$ и $\angle C_1 = \angle C'$ (такой треугольник существует по первому признаку равенства, например, SAS, отложив стороны $A_1B_1=A'B'$ и $A_1C_1=A'C'$ и угол $A_1=A'$).
Тогда $\triangle A_1B_1C_1$ подобен $\triangle A'B'C'$ по первому признаку подобия (УУ), и коэффициент подобия равен 1. То есть, $A_1B_1 = A'B'$, $A_1C_1 = A'C'$, $B_1C_1 = B'C'$.
По условию, $AB = k \cdot A'B'$, $AC = k \cdot A'C'$, $BC = k \cdot B'C'$.
То есть, $AB = k \cdot A_1B_1$, $AC = k \cdot A_1C_1$, $BC = k \cdot B_1C_1$.
Это означает, что стороны треугольника $\triangle ABC$ пропорциональны сторонам треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ с коэффициентом $k$.
Поскольку все соответствующие стороны пропорциональны, то $\triangle ABC$ подобен $\triangle A_1B_1C_1$ по определению подобия (стороны пропорциональны).
Так как $\triangle A_1B_1C_1$ равен $\triangle A'B'C'$, то $\triangle ABC$ подобен $\triangle A'B'C'$.

Ответ: Признаки подобия треугольников: по двум углам (УУ), по двум сторонам и углу между ними (СУС), по трем сторонам (ССС).

3. Какие признаки подобия двух прямоугольных треугольников вы знаете?

Для прямоугольных треугольников, поскольку один из углов (прямой угол) всегда равен $90^\circ$, признаки подобия упрощаются:

1. По острому углу:
Формулировка: Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
Это частный случай признака подобия по двум углам (УУ), так как помимо равных острых углов, у них также равны прямые углы ($90^\circ$).

2. По отношению двух катетов:
Формулировка: Если отношение двух катетов одного прямоугольного треугольника равно отношению двух катетов другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
Это частный случай признака подобия по двум сторонам и углу между ними (СУС), так как угол между катетами всегда равен $90^\circ$ и, следовательно, равен углу между катетами другого прямоугольного треугольника.

3. По отношению катета и гипотенузы:
Формулировка: Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны соответствующему катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство:
Пусть даны прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ (прямой угол при $C$) и $\triangle A'B'C'$ (прямой угол при $C'$), и пусть $\frac{AC}{A'C'} = \frac{AB}{A'B'} = k$.
По теореме Пифагора для $\triangle ABC$: $BC^2 = AB^2 - AC^2$.
Для $\triangle A'B'C'$: $(B'C')^2 = (A'B')^2 - (A'C')^2$.
Подставим $AC = k \cdot A'C'$ и $AB = k \cdot A'B'$ в первое уравнение:
$BC^2 = (k \cdot A'B')^2 - (k \cdot A'C')^2 = k^2 (A'B')^2 - k^2 (A'C')^2 = k^2 ((A'B')^2 - (A'C')^2)$.
Так как $(A'B')^2 - (A'C')^2 = (B'C')^2$, то $BC^2 = k^2 (B'C')^2$.
Извлекая квадратный корень, получаем $BC = k \cdot B'C'$ (длина стороны положительна).
Таким образом, все три стороны треугольников пропорциональны: $\frac{AC}{A'C'} = \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = k$.
Следовательно, по признаку подобия по трем сторонам (ССС), $\triangle ABC$ подобен $\triangle A'B'C'$.

Ответ: Признаки подобия прямоугольных треугольников: по острому углу; по отношению двух катетов; по отношению катета и гипотенузы.

173. Подобны ли два треугольника, если:

а) два угла одного равны $60^{\circ}$ и $70^{\circ}$, а два угла второго – $50^{\circ}$ и $80^{\circ}$;

б) два угла одного равны $108^{\circ}$ и $20^{\circ}$, а второго – $52^{\circ}$ и $20^{\circ}$?

Дано:
a) Для первого треугольника ($T_1$): два угла равны $60^\circ$ и $70^\circ$.
Для второго треугольника ($T_2$): два угла равны $50^\circ$ и $80^\circ$.
б) Для первого треугольника ($T_3$): два угла равны $108^\circ$ и $20^\circ$.
Для второго треугольника ($T_4$): два угла равны $52^\circ$ и $20^\circ$.

Перевод в СИ:
Единицы измерения углов (градусы) не требуют перевода в систему СИ для данной задачи, так как сравнение углов происходит в одной системе.

Найти:
а) Подобны ли треугольники $T_1$ и $T_2$?
б) Подобны ли треугольники $T_3$ и $T_4$?

Решение:

Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника (признак подобия по двум углам, или AA-признак). Сумма углов в любом треугольнике всегда равна $180^\circ$. Зная два угла треугольника, третий угол можно найти по формуле: $180^\circ - (\text{первый угол} + \text{второй угол})$.

а) два угла одного равны 60° и 70°, а два угла второго – 50° и 80°

Для первого треугольника:
Известные углы: $60^\circ$ и $70^\circ$.
Третий угол: $180^\circ - (60^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.
Таким образом, углы первого треугольника составляют $50^\circ, 60^\circ, 70^\circ$.

Для второго треугольника:
Известные углы: $50^\circ$ и $80^\circ$.
Третий угол: $180^\circ - (50^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.
Таким образом, углы второго треугольника составляют $50^\circ, 50^\circ, 80^\circ$.

Сравним наборы углов двух треугольников:
Первый треугольник: $\{50^\circ, 60^\circ, 70^\circ\}$.
Второй треугольник: $\{50^\circ, 50^\circ, 80^\circ\}$.
Несмотря на наличие одного одинакового угла ($50^\circ$), остальные углы в наборах не совпадают. Для подобия необходимо равенство всех соответствующих углов.

Ответ: Нет, не подобны.

б) два угла одного равны 108° и 20°, а второго – 52° и 20°?

Для первого треугольника:
Известные углы: $108^\circ$ и $20^\circ$.
Третий угол: $180^\circ - (108^\circ + 20^\circ) = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$.
Таким образом, углы первого треугольника составляют $20^\circ, 52^\circ, 108^\circ$.

Для второго треугольника:
Известные углы: $52^\circ$ и $20^\circ$.
Третий угол: $180^\circ - (52^\circ + 20^\circ) = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.
Таким образом, углы второго треугольника составляют $20^\circ, 52^\circ, 108^\circ$.

Сравним наборы углов двух треугольников:
Первый треугольник: $\{20^\circ, 52^\circ, 108^\circ\}$.
Второй треугольник: $\{20^\circ, 52^\circ, 108^\circ\}$.
Наборы углов полностью совпадают. Все соответствующие углы равны.

Ответ: Да, подобны.

174. Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$, $\angle C = \angle C_1$, $AB = 5$ см, $BC = 7$ см, $A_1B_1 = 10$ см, $A_1C_1 = 8$ см (рисунок 120). Найдите остальные стороны треугольников.

Рисунок 120

Дано:

Треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $

$ \angle A = \angle A_1 $

$ \angle C = \angle C_1 $

$ AB = 5 \text{ см} $

$ BC = 7 \text{ см} $

$ A_1B_1 = 10 \text{ см} $

$ A_1C_1 = 8 \text{ см} $

Перевод в СИ:

$ AB = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м} $

$ BC = 7 \text{ см} = 0.07 \text{ м} $

$ A_1B_1 = 10 \text{ см} = 0.10 \text{ м} $

$ A_1C_1 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м} $

Найти:

Сторону $ AC $ треугольника $ \triangle ABC $

Сторону $ B_1C_1 $ треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $

Решение:

По условию, $ \angle A = \angle A_1 $ и $ \angle C = \angle C_1 $. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Следовательно, треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам).

Из подобия треугольников следует, что отношения их соответствующих сторон равны. Соответствующие вершины: $ A \leftrightarrow A_1 $, $ C \leftrightarrow C_1 $, $ B \leftrightarrow B_1 $. Таким образом, получаем следующие отношения сторон:

$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k $

где $ k $ — коэффициент подобия.

Используем известные длины сторон $ AB $ и $ A_1B_1 $ для нахождения коэффициента подобия $ k $:

$ k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{5 \text{ см}}{10 \text{ см}} = \frac{1}{2} $

Теперь найдем неизвестную сторону $ AC $ треугольника $ \triangle ABC $. Из отношения $ \frac{AC}{A_1C_1} = k $ выразим $ AC $:

$ AC = k \cdot A_1C_1 $

$ AC = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} $

$ AC = 4 \text{ см} $

Далее найдем неизвестную сторону $ B_1C_1 $ треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $. Из отношения $ \frac{BC}{B_1C_1} = k $ выразим $ B_1C_1 $:

$ B_1C_1 = \frac{BC}{k} $

$ B_1C_1 = \frac{7 \text{ см}}{1/2} $

$ B_1C_1 = 7 \text{ см} \cdot 2 $

$ B_1C_1 = 14 \text{ см} $

Ответ:

Сторона $ AC = 4 \text{ см} $.

Сторона $ B_1C_1 = 14 \text{ см} $.

175. а) Докажите, что два равносторонних треугольника подобны.

б) Постройте равносторонний $\triangle ABC$ со стороной 6 см и проведите прямые $MN$ и $M_1N_1$ так, чтобы $\triangle ABC \sim \triangle MNC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{2}{3}$ и $\triangle ABC \sim \triangle M_1N_1C$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{3}$. Подобны ли треугольники $MNC$ и $M_1N_1C$? Если подобны, то найдите коэффициент подобия.

Дано:

Сторона равностороннего треугольника $ABC$, $a_{ABC} = 6 \text{ см}$.
Коэффициент подобия $\triangle ABC$ и $\triangle MNC$, $k_1 = \frac{2}{3}$.
Коэффициент подобия $\triangle ABC$ и $\triangle M_1N_1C$, $k_2 = \frac{1}{3}$.

Перевод в СИ:

$a_{ABC} = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$.

Найти:

а) Доказать подобие двух равносторонних треугольников.
б) Описать построение $\triangle ABC$, отрезков $MN$ и $M_1N_1$. Определить, подобны ли $\triangle MNC$ и $\triangle M_1N_1C$. Если да, найти коэффициент подобия.

Решение

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны между собой, а все углы равны по $60^\circ$. Рассмотрим два произвольных равносторонних треугольника, например, $\triangle PQR$ со сторонами $p$ и $\triangle XYZ$ со сторонами $x$. Так как оба треугольника равносторонние, то все их углы равны $60^\circ$: $\angle P = \angle Q = \angle R = 60^\circ$
$\angle X = \angle Y = \angle Z = 60^\circ$
Следовательно, все соответствующие углы этих треугольников равны: $\angle P = \angle X$, $\angle Q = \angle Y$, $\angle R = \angle Z$. По признаку подобия треугольников по трем углам (AAA), если соответствующие углы двух треугольников равны, то такие треугольники подобны. Также можно рассмотреть отношение сторон: $\frac{PQ}{XY} = \frac{p}{x}$
$\frac{QR}{YZ} = \frac{p}{x}$
$\frac{RP}{ZX} = \frac{p}{x}$
Так как все отношения сторон равны одному и тому же значению $\frac{p}{x}$, то стороны пропорциональны. По признаку подобия треугольников по трем сторонам (SSS), если соответствующие стороны двух треугольников пропорциональны, то такие треугольники подобны. Таким образом, два равносторонних треугольника всегда подобны.

Ответ: Доказано.

1. Построение равностороннего $\triangle ABC$ со стороной 6 см:
а) Проведите отрезок $AC$ длиной 6 см.
б) Из точки $A$ как центра проведите дугу окружности радиусом 6 см.
в) Из точки $C$ как центра проведите дугу окружности радиусом 6 см.
г) Точка пересечения дуг является вершиной $B$. Соедините точки $A$, $B$ и $C$ отрезками, чтобы получить равносторонний $\triangle ABC$.

2. Построение прямой $MN$ для $\triangle ABC \sim \triangle MNC$ с коэффициентом подобия $k_1 = \frac{2}{3}$:
Поскольку $\triangle ABC$ равносторонний, то и $\triangle MNC$ будет равносторонним. Вершина $C$ общая для обоих треугольников в подобии $\triangle ABC \sim \triangle MNC$. Это означает, что $M$ лежит на $AC$ и $N$ лежит на $BC$.
Сторона $\triangle MNC$, обозначим ее $a_{MNC}$, связана со стороной $\triangle ABC$, $a_{ABC}$, соотношением:
$a_{MNC} = k_1 \cdot a_{ABC} = \frac{2}{3} \cdot 6 \text{ см} = 4 \text{ см}$.
Таким образом, $MC = 4$ см и $NC = 4$ см. Для построения $MN$: Отложите на отрезке $AC$ от точки $C$ отрезок $MC$ длиной 4 см. Отложите на отрезке $BC$ от точки $C$ отрезок $NC$ длиной 4 см. Соедините точки $M$ и $N$ отрезком. Отрезок $MN$ будет параллелен $AB$.

3. Построение прямой $M_1N_1$ для $\triangle ABC \sim \triangle M_1N_1C$ с коэффициентом подобия $k_2 = \frac{1}{3}$:
Аналогично, $\triangle M_1N_1C$ будет равносторонним. Вершина $C$ общая, $M_1$ лежит на $AC$, $N_1$ лежит на $BC$.
Сторона $\triangle M_1N_1C$, обозначим ее $a_{M_1N_1C}$, связана со стороной $\triangle ABC$ соотношением:
$a_{M_1N_1C} = k_2 \cdot a_{ABC} = \frac{1}{3} \cdot 6 \text{ см} = 2 \text{ см}$.
Таким образом, $M_1C = 2$ см и $N_1C = 2$ см. Для построения $M_1N_1$: Отложите на отрезке $AC$ от точки $C$ отрезок $M_1C$ длиной 2 см. Отложите на отрезке $BC$ от точки $C$ отрезок $N_1C$ длиной 2 см. Соедините точки $M_1$ и $N_1$ отрезком. Отрезок $M_1N_1$ будет параллелен $AB$.

4. Подобие треугольников $MNC$ и $M_1N_1C$:
Как было показано в части а), все равносторонние треугольники подобны. Поскольку $\triangle MNC$ подобен $\triangle ABC$, а $\triangle ABC$ равносторонний, то $\triangle MNC$ является равносторонним. Аналогично, $\triangle M_1N_1C$ является равносторонним. Следовательно, треугольники $MNC$ и $M_1N_1C$ подобны.

5. Коэффициент подобия $\triangle MNC$ и $\triangle M_1N_1C$:
Найдем отношение сторон этих треугольников.
Сторона $\triangle MNC$ равна $a_{MNC} = 4$ см.
Сторона $\triangle M_1N_1C$ равна $a_{M_1N_1C} = 2$ см.
Коэффициент подобия $k'$ для $\triangle MNC \sim \triangle M_1N_1C$ равен отношению их соответствующих сторон:
$k' = \frac{a_{MNC}}{a_{M_1N_1C}} = \frac{4 \text{ см}}{2 \text{ см}} = 2$.
Или, используя коэффициенты подобия к $\triangle ABC$:
$k' = \frac{k_1 \cdot a_{ABC}}{k_2 \cdot a_{ABC}} = \frac{k_1}{k_2} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{1} = 2$.

Ответ: Треугольники $MNC$ и $M_1N_1C$ подобны. Коэффициент подобия равен $2$.

176. По данным на рисунках 121, а, б, в найдите х.

а)

$1.2, 1, x, 4.4$

б)

$2, 3, x, 3$

в)

$6, 2, x$

Рисунок 121

а)

Дано:

Треугольник $ABC$.

На стороне $AB$ точка $D$, на стороне $BC$ точка $F$.

Отрезок $DF$ параллелен $AC$ (из-за того, что $DD_p$ и $FF_p$ перпендикулярны $AC$, где $D_p, F_p$ – проекции $D, F$ на $AC$, образуя прямоугольник $DD_p F_p F$, при этом $DF$ является стороной этого прямоугольника и, следовательно, параллелен $D_p F_p$, лежащей на $AC$).

$AD = 1.2$

$DB = 1$

$AC = 4.4$

$DF = x$

Найти:

$x$

Решение:

Так как $DF$ параллелен $AC$, то треугольник $BDF$ подобен треугольнику $BAC$ по двум углам: угол $B$ у них общий, а углы $\angle BDF$ и $\angle BAC$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $DF$ и $AC$ и секущей $AB$.

Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:

$\frac{DF}{AC} = \frac{BD}{BA}$

Найдем длину стороны $BA$:

$BA = BD + AD = 1 + 1.2 = 2.2$

Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{x}{4.4} = \frac{1}{2.2}$

Решим уравнение относительно $x$:

$x = \frac{1 \times 4.4}{2.2}$

$x = \frac{4.4}{2.2}$

$x = 2$

Ответ: 2

б)

Дано:

Четырехугольник $MNPQ$, изображенный как параллелограмм.

$NK$ - высота из вершины $N$ на сторону $MQ$, $NK=3$.

$MK=2$ (отрезок на стороне $MQ$).

$NT$ - высота из вершины $N$ на сторону $QP$, $NT=3$.

$x$ - длина диагонали $NQ$.

Найти:

$x$

Решение:

Площадь параллелограмма может быть выражена как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне. В данном случае:

$S_{MNPQ} = MQ \times NK$

$S_{MNPQ} = QP \times NT$

Так как $NK = NT = 3$, то $MQ \times 3 = QP \times 3$, что означает $MQ = QP$.

Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом. Следовательно, все стороны ромба $MNPQ$ равны: $MN = NP = PQ = QM$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $NKM$ (угол $K$ прямой, так как $NK$ - высота). По теореме Пифагора:

$MN^2 = NK^2 + MK^2$

$MN^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$

$MN = \sqrt{13}$

Таким образом, все стороны ромба равны $\sqrt{13}$.

Найдем косинус угла $M$ ромба (угол $\angle NMQ$). В прямоугольном треугольнике $NKM$:

$\cos(\angle NMQ) = \frac{MK}{MN} = \frac{2}{\sqrt{13}}$

Теперь рассмотрим треугольник $NQM$. Стороны $NM = \sqrt{13}$ и $QM = \sqrt{13}$. Нам нужно найти сторону $NQ = x$. Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $NQM$:

$NQ^2 = NM^2 + QM^2 - 2 \cdot NM \cdot QM \cdot \cos(\angle NMQ)$

$x^2 = (\sqrt{13})^2 + (\sqrt{13})^2 - 2 \cdot \sqrt{13} \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{2}{\sqrt{13}}$

$x^2 = 13 + 13 - 2 \cdot 13 \cdot \frac{2}{\sqrt{13}}$

$x^2 = 26 - \frac{52}{\sqrt{13}}$

$x^2 = 26 - \frac{52\sqrt{13}}{13}$

$x^2 = 26 - 4\sqrt{13}$

$x = \sqrt{26 - 4\sqrt{13}}$

Ответ: $\sqrt{26 - 4\sqrt{13}}$

в)

Дано:

Треугольник $QRS$.

$SE$ является биссектрисой угла $S$, то есть $\angle QSE = \angle ESR$ (отмечено одинаковыми дугами на рисунке).

$QE = 6$

$ER = 2$

Из рисунка видно, что $\angle Q = \angle ESR$ (по одинаковым дуговым меткам углов).

$SR = x$

Найти:

$x$

Решение:

Рассмотрим треугольники $RQS$ и $RSE$.

1. Угол $\angle R$ является общим для обоих треугольников.

2. Угол $\angle Q$ в треугольнике $RQS$ равен углу $\angle ESR$ в треугольнике $RSE$ (дано на рисунке, отмечено одинаковыми дугами).

Следовательно, треугольники $RQS$ и $RSE$ подобны по двум углам (признак АА подобия). Соответствие вершин: $R \leftrightarrow R$, $Q \leftrightarrow S$, $S \leftrightarrow E$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{RQ}{RS} = \frac{RS}{RE} = \frac{QS}{SE}$

Используем первое отношение:

$\frac{RQ}{RS} = \frac{RS}{RE}$

Найдем длину стороны $RQ$ (или $QR$):

$QR = QE + ER = 6 + 2 = 8$

Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{8}{x} = \frac{x}{2}$

Перемножим крест-накрест:

$x \times x = 8 \times 2$

$x^2 = 16$

$x = \sqrt{16}$

$x = 4$ (длина не может быть отрицательной)

Ответ: 4