Вопросы, страница 78 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Дайте определение преобразования: а) гомотетии; б) подобия.

2. Какие две фигуры называются: а) гомотетичными; б) подобными?

3. Докажите, что гомотетия является преобразованием подобия.

4. Какие свойства гомотетии и подобия вы знаете?

5. Объясните на примерах способы построения двух фигур: а) гомотетичных; б) подобных.

1. Дайте определение преобразования:

а) гомотетии;

Ответ: Преобразование плоскости, при котором каждая точка $P$ переходит в точку $P'$, лежащую на луче $OP$ (если $P$ не совпадает с центром $O$) или на дополнительном к нему луче, причём отношение расстояний $OP'$ к $OP$ равно постоянному числу $|k|$ (коэффициенту гомотетии), а векторы $\vec{OP'}$ и $\vec{OP}$ коллинеарны (для $k > 0$ они сонаправлены, для $k < 0$ противоположно направлены), называется гомотетией с центром $O$ и коэффициентом $k$. То есть, $\vec{OP'} = k \cdot \vec{OP}$.

б) подобия.

Ответ: Преобразование плоскости, при котором любая фигура $F$ переходит в фигуру $F'$, подобную $F$, называется преобразованием подобия. То есть, преобразование подобия сохраняет форму фигур и изменяет их размеры в постоянное число раз. Если $A$, $B$ – две произвольные точки, а $A'$, $B'$ – их образы при преобразовании подобия, то $A'B' = k \cdot AB$, где $k$ – коэффициент подобия, $k > 0$.

2. Какие две фигуры называются:

а) гомотетичными;

Ответ: Две фигуры называются гомотетичными, если одна из них может быть получена из другой с помощью гомотетии. Гомотетичные фигуры являются подобными, их соответствующие стороны параллельны, а углы равны.

б) подобными?

Ответ: Две фигуры называются подобными, если одна из них может быть получена из другой с помощью преобразования подобия. Для многоугольников это означает, что их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

3. Докажите, что гомотетия является преобразованием подобия.

Решение

Рассмотрим гомотетию с центром $O$ и коэффициентом $k$. Пусть $A$ и $B$ – две произвольные точки, а $A'$ и $B'$ – их образы при этой гомотетии.По определению гомотетии:$\vec{OA'} = k \cdot \vec{OA}$$\vec{OB'} = k \cdot \vec{OB}$

Найдем вектор $\vec{A'B'}$:$\vec{A'B'} = \vec{OB'} - \vec{OA'}$Подставим выражения для $\vec{OB'}$ и $\vec{OA'}$:$\vec{A'B'} = k \cdot \vec{OB} - k \cdot \vec{OA}$$\vec{A'B'} = k \cdot (\vec{OB} - \vec{OA})$$\vec{A'B'} = k \cdot \vec{AB}$

Из полученного равенства $\vec{A'B'} = k \cdot \vec{AB}$ следуют два важных вывода:

1. Длина отрезка $A'B'$ равна $|k|$ умноженному на длину отрезка $AB$: $A'B' = |k| \cdot AB$. Это означает, что гомотетия изменяет длины всех отрезков в одно и то же число раз (коэффициент $|k|$).

2. Векторы $\vec{A'B'}$ и $\vec{AB}$ коллинеарны, что означает, что отрезок $A'B'$ параллелен отрезку $AB$ (или лежит на той же прямой, если точки $O, A, B$ коллинеарны). Поскольку гомотетия переводит любую прямую в параллельную ей прямую (или в себя), то углы между прямыми сохраняются. Например, если у нас есть угол $\angle ABC$, то при гомотетии он перейдет в $\angle A'B'C'$, и поскольку стороны угла $B'A'$ и $B'C'$ параллельны сторонам $BA$ и $BC$ соответственно, то углы будут равны: $\angle A'B'C' = \angle ABC$.

Таким образом, гомотетия сохраняет углы между отрезками и изменяет длины всех отрезков в постоянное число раз $|k|$. Эти два свойства являются определяющими для преобразования подобия. Следовательно, гомотетия является преобразованием подобия с коэффициентом подобия $|k|$.

Ответ: Доказано.

4. Какие свойства гомотетии и подобия вы знаете?

Свойства гомотетии:

• Гомотетия является преобразованием подобия с коэффициентом, равным модулю коэффициента гомотетии $|k|$.

• Гомотетия сохраняет ориентацию плоскости, если $k > 0$, и изменяет, если $k < 0$.

• Любая прямая переходит в параллельную ей прямую (или в саму себя, если прямая проходит через центр гомотетии).

• Любой отрезок переходит в параллельный ему отрезок, длина которого в $|k|$ раз больше (или меньше) длины исходного отрезка.

• Углы сохраняются (их величины не изменяются).

• Середина отрезка переходит в середину соответствующего отрезка.

• Центр гомотетии является единственной неподвижной точкой (если $k \ne 1$).

• Окружность переходит в окружность, причем центр новой окружности является образом центра исходной окружности при той же гомотетии.

Свойства подобия:

• Преобразование подобия сохраняет величины углов.

• Отношение длин любых двух отрезков сохраняется (оно равно коэффициенту подобия $k$).

• Прямая переходит в прямую, луч в луч, отрезок в отрезок.

• Параллельные прямые переходят в параллельные прямые.

• Окружность переходит в окружность.

• Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия ($k^2$).

• Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия ($k^3$).

• Подобие является отношением эквивалентности (рефлексивно, симметрично, транзитивно).

Ответ: Свойства перечислены выше.

5. Объясните на примерах способы построения двух фигур:

а) гомотетичных;

Ответ: Построение треугольника $A'B'C'$ гомотетичного треугольнику $ABC$ с центром $O$ и коэффициентом гомотетии $k = 2$.

1. Выберем произвольную точку $O$ на плоскости, которая будет центром гомотетии.

2. Проведем лучи из точки $O$ через каждую вершину треугольника $ABC$, то есть лучи $OA$, $OB$, $OC$.

3. На каждом луче отложим отрезки, длины которых в $k=2$ раза больше соответствующих отрезков до вершин исходного треугольника. То есть, на луче $OA$ найдем точку $A'$ такую, что $OA' = 2 \cdot OA$. Аналогично, на луче $OB$ найдем точку $B'$ такую, что $OB' = 2 \cdot OB$, и на луче $OC$ найдем точку $C'$ такую, что $OC' = 2 \cdot OC$.

4. Соединим полученные точки $A'$, $B'$, $C'$. Треугольник $A'B'C'$ будет гомотетичен треугольнику $ABC$ с центром $O$ и коэффициентом $k=2$. Стороны $A'B'$, $B'C'$, $C'A'$ будут параллельны сторонам $AB$, $BC$, $CA$ соответственно, а их длины будут в 2 раза больше.

б) подобных.

Ответ: Построение треугольника $A'B'C'$ подобного треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия $k = 1/2$.

1. **Способ 1 (через гомотетию):** Так как гомотетия является частным случаем преобразования подобия, можно использовать метод, описанный выше для гомотетичных фигур. Для коэффициента подобия $k = 1/2$, центр $O$ и точки $A', B', C'$ будут располагаться на лучах $OA, OB, OC$ таким образом, что $OA' = (1/2) \cdot OA$, $OB' = (1/2) \cdot OB$, $OC' = (1/2) \cdot OC$. Полученный треугольник $A'B'C'$ будет подобен $ABC$ с коэффициентом $1/2$.

2. **Способ 2 (через углы и стороны):** Допустим, нам дан треугольник $ABC$. Мы хотим построить подобный ему треугольник $A'B'C'$ с коэффициентом подобия $k = 1/2$.

   1. Выберем произвольную прямую и на ней отложим отрезок $A'B'$ так, чтобы его длина была равна $AB \cdot k = AB \cdot (1/2)$.

   2. Из точки $A'$ с помощью транспортира или циркуля и линейки построим угол, равный $\angle CAB$.

   3. Из точки $B'$ с помощью транспортира или циркуля и линейки построим угол, равный $\angle CBA$.

   4. Точка пересечения сторон построенных углов (лучей) будет вершиной $C'$.

   Треугольник $A'B'C'$ будет подобен треугольнику $ABC$, поскольку у них будут равны два угла, а третий угол также будет равен. При этом сторона $A'B'$ будет в $1/2$ раза меньше $AB$, и, в силу подобия, остальные стороны также будут пропорциональны с тем же коэффициентом $1/2$.

Ответ: Способы построения объяснены на примерах.