Номер 164, страница 72 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

164. a) На сторонах $CA$ и $CB$ равностороннего треугольника $ABC$ отложены отрезки $CM$ и $CN$, сумма длин которых равна стороне треугольника. Найдите угол $MON$, где $O$ - точка пересечения медиан треугольника.

б) Через центр равностороннего треугольника проведены две прямые, угол между которыми равен $60^\circ$ и которые не содержат вершин треугольника. Докажите, что отрезки этих прямых, заключенные между сторонами треугольника, равны.

a) На сторонах CA и CB равностороннего треугольника ABC отложены отрезки CM и CN, сумма длин которых равна стороне треугольника. Найдите угол MON, где O — точка пересечения медиан треугольника.

Дано:
Треугольник $ABC$ – равносторонний.
Точка $O$ – точка пересечения медиан треугольника $ABC$ (центр треугольника).
$M$ лежит на стороне $CA$.
$N$ лежит на стороне $CB$.
$CM + CN = AC$ (или $BC$, или $AB$, так как треугольник равносторонний). Обозначим сторону треугольника как $a$. Следовательно, $CM + CN = a$.

Найти:
Угол $\angle MON$.

Решение:
Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, все его углы равны $60^\circ$. Точка $O$ является центром треугольника (точкой пересечения медиан, биссектрис, высот и центром описанной и вписанной окружностей).
Отрезки $OA$, $OB$, $OC$ являются радиусами описанной окружности. В равностороннем треугольнике углы, образованные этими радиусами в центре $O$, равны: $\angle AOC = \angle BOC = \angle AOB = 360^\circ / 3 = 120^\circ$.
Медианы (и биссектрисы) равностороннего треугольника делят углы пополам. Следовательно, $CO$ является биссектрисой угла $\angle ACB$.
Таким образом, $\angle OCM = \angle OCA = 30^\circ$ (так как $M$ лежит на $CA$).
Аналогично, $\angle OCN = \angle OCB = 30^\circ$ (так как $N$ лежит на $CB$).
Теперь рассмотрим отрезки $AM$ и $CN$.
По условию, $CM + CN = a$.
Длина отрезка $AM = AC - CM = a - CM$.
Из равенства $CM + CN = a$ следует $CN = a - CM$.
Таким образом, $AM = CN$.
Рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle CON$.
1. Сторона $OA = OC$ (как радиусы описанной окружности равностороннего треугольника).
2. Угол $\angle OAM = \angle OAC = 30^\circ$ (поскольку $AO$ является биссектрисой угла $\angle BAC = 60^\circ$).
3. Угол $\angle OCN = \angle OCB = 30^\circ$ (поскольку $CO$ является биссектрисой угла $\angle ACB = 60^\circ$).
Следовательно, $\angle OAM = \angle OCN = 30^\circ$.
4. Мы только что доказали, что $AM = CN$.
По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS), треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle CON$ равны: $\triangle AOM \cong \triangle CON$.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AOM = \angle CON$.
Теперь найдем угол $\angle MON$.
Угол $\angle MON$ является суммой углов $\angle MOC$ и $\angle CON$:
$\angle MON = \angle MOC + \angle CON$.
Заменим $\angle CON$ на $\angle AOM$ (так как они равны):
$\angle MON = \angle MOC + \angle AOM$.
Сумма углов $\angle MOC$ и $\angle AOM$ составляет угол $\angle AOC$.
$\angle MON = \angle AOC$.
Мы знаем, что $\angle AOC = 120^\circ$.
Следовательно, $\angle MON = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$

б) Через центр равностороннего треугольника проведены две прямые, угол между которыми равен 60° и которые не содержат вершин треугольника. Докажите, что отрезки этих прямых, заключенные между сторонами треугольника, равны.

Дано:
Треугольник $ABC$ – равносторонний.
Точка $O$ – центр треугольника.
Прямые $l_1$ и $l_2$ проходят через $O$.
Угол между $l_1$ и $l_2$ равен $60^\circ$.
Прямые $l_1$ и $l_2$ не содержат вершин треугольника.

Найти:
Доказать, что отрезки этих прямых, заключенные между сторонами треугольника, равны.

Решение:
Пусть $l_1$ — одна из данных прямых, проходящая через центр $O$ равностороннего треугольника $ABC$.
Поскольку прямая $l_1$ проходит через центр треугольника и не содержит его вершин, она пересекает две стороны треугольника в различных точках. Пусть эти точки будут $P_1$ и $P_2$, и отрезок $P_1P_2$ является частью прямой $l_1$, заключенной между сторонами треугольника.
Аналогично, пусть $l_2$ — вторая данная прямая, проходящая через центр $O$. Она также пересекает две стороны треугольника в точках $Q_1$ и $Q_2$, образуя отрезок $Q_1Q_2$.
По условию, угол между прямыми $l_1$ и $l_2$ равен $60^\circ$.
Рассмотрим вращение плоскости вокруг центра треугольника $O$ на угол $60^\circ$ (по часовой стрелке или против часовой стрелки).
1. Равносторонний треугольник $ABC$ при вращении вокруг своего центра $O$ на $60^\circ$ отображается сам на себя. То есть, $\triangle ABC$ переходит в $\triangle ABC$.
2. Прямая $l_1$ проходит через центр вращения $O$. Следовательно, ее образ $l_1'$ после вращения также будет проходить через $O$.
3. Угол между прямой $l_1$ и ее образом $l_1'$ равен углу вращения, то есть $60^\circ$.
4. Таким образом, образ $l_1'$ является одной из прямых, которая проходит через $O$ и образует угол $60^\circ$ с $l_1$. По условию задачи, это прямая $l_2$. То есть, $l_1' = l_2$.
5. Отрезок $P_1P_2$ лежит на прямой $l_1$ и заключен между сторонами треугольника. При вращении на $60^\circ$ этот отрезок $P_1P_2$ переходит в отрезок $P_1'P_2'$ на прямой $l_1'$.
6. Вращение является изометрическим преобразованием, что означает, что оно сохраняет расстояния и длины отрезков. Следовательно, длина отрезка $P_1P_2$ равна длине отрезка $P_1'P_2'$: $P_1P_2 = P_1'P_2'$.
7. Поскольку $l_1'$ совпадает с $l_2$, то отрезок $P_1'P_2'$ является отрезком прямой $l_2$, заключенным между сторонами треугольника. По определению, этот отрезок есть $Q_1Q_2$.
Таким образом, $P_1'P_2' = Q_1Q_2$.
Из всего вышесказанного следует, что $P_1P_2 = Q_1Q_2$.

Ответ: Доказано.