Номер 154, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

154. а) Даны $\triangle ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$, $AC = 3$ см, $BC = 1,5$ см, и точка $O$, принадлежащая прямой $AB$, причем $OA = 2$ см и точка $A$ лежит на отрезке $OB$. Постройте образ $\triangle ABC$ при повороте около точки $O$ по часовой стрелке на угол $60^\circ$.

б) Две равные окружности с центрами в точках $A$ и $B$ пересекаются в точках $C$ и $D$. На какой угол надо повернуть одну из них около точки $C$, чтобы она совпала с другой окружностью?

а) Дано:

$\triangle ABC$

$\angle C = 90^\circ$

$AC = 3$ см

$BC = 1,5$ см

Точка $O$ принадлежит прямой $AB$

$OA = 2$ см

Точка $A$ лежит на отрезке $OB$

Угол поворота: $60^\circ$ по часовой стрелке

Перевод в СИ:

$AC = 3 \text{ см} = 0,03 \text{ м}$

$BC = 1,5 \text{ см} = 0,015 \text{ м}$

$OA = 2 \text{ см} = 0,02 \text{ м}$

Найти:

Построить образ $\triangle ABC$ при повороте около точки $O$ по часовой стрелке на угол $60^\circ$.

Решение:

1. Построение исходного треугольника $\triangle ABC$:

Поскольку $\angle C = 90^\circ$, $\triangle ABC$ является прямоугольным треугольником.

а) Постройте прямой угол. Отложите на одной из его сторон отрезок $AC = 3$ см.

б) Отложите на другой стороне прямого угла отрезок $CB = 1,5$ см.

в) Соедините точки $A$ и $B$. Треугольник $\triangle ABC$ построен.

2. Нахождение положения точки $O$:

Точка $O$ принадлежит прямой $AB$. Точка $A$ лежит на отрезке $OB$. Это означает, что точки $O$, $A$, $B$ расположены на прямой в указанном порядке. Длина отрезка $OA = 2$ см. На прямой $AB$ отложите от точки $A$ отрезок $AO$ длиной $2$ см в направлении, противоположном вектору $\vec{AB}$.

3. Построение образа треугольника $\triangle A'B'C'$ при повороте:

Для каждой вершины $X$ (точки $A$, $B$, $C$) треугольника $\triangle ABC$ выполните следующие шаги для нахождения её образа $X'$ при повороте вокруг точки $O$ на угол $60^\circ$ по часовой стрелке:

а) Соедините точку $O$ с точкой $X$.

б) От луча $OX$ отложите угол $60^\circ$ по часовой стрелке.

в) На полученном луче отложите отрезок $OX'$ такой же длины, как $OX$. Точка $X'$ является образом точки $X$.

Примените эту процедуру для точек $A$, $B$, $C$ по очереди:

г) Для точки $A$: Отложите от луча $OA$ угол $60^\circ$ по часовой стрелке. На новом луче отложите отрезок $OA'$ длиной $OA = 2$ см. Точка $A'$ — образ точки $A$.

д) Для точки $B$: Соедините $O$ с $B$. Отложите от луча $OB$ угол $60^\circ$ по часовой стрелке. На новом луче отложите отрезок $OB'$ длиной $OB = OA + AB$. (Длину $AB$ можно найти по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 1.5^2} = \sqrt{9 + 2.25} = \sqrt{11.25} \approx 3.35$ см. Тогда $OB \approx 2 + 3.35 = 5.35$ см). Точка $B'$ — образ точки $B$.

е) Для точки $C$: Соедините $O$ с $C$. Отложите от луча $OC$ угол $60^\circ$ по часовой стрелке. На новом луче отложите отрезок $OC'$ длиной $OC$. Точка $C'$ — образ точки $C$.

Соедините полученные точки $A'$, $B'$, $C'$. Треугольник $\triangle A'B'C'$ является искомым образом треугольника $\triangle ABC$ при заданном повороте.

Ответ: Построение описано выше.

б) Дано:

Две равные окружности с центрами в точках $A$ и $B$.

Окружности пересекаются в точках $C$ и $D$.

Найти:

Угол поворота одной окружности около точки $C$, чтобы она совпала с другой окружностью.

Решение:

Пусть $R$ — радиус обеих равных окружностей.

Поскольку точки $C$ и $D$ являются точками пересечения обеих окружностей, они равноудалены от центров $A$ и $B$. Таким образом:

$AC = R$ (так как $C$ лежит на окружности с центром $A$)

$BC = R$ (так как $C$ лежит на окружности с центром $B$)

Для того чтобы одна окружность (например, окружность с центром $A$) совпала с другой окружностью (с центром $B$) при повороте вокруг точки $C$, необходимо, чтобы центр первой окружности $A$ перешел в центр второй окружности $B$.

Поворот вокруг точки $C$, переводящий точку $A$ в точку $B$, определяется углом $\angle ACB$. Длины $CA$ и $CB$ должны быть равны, что и выполняется, так как $CA = CB = R$.

Треугольник $\triangle ACB$ является равнобедренным, так как $AC = BC = R$. Длина третьей стороны $AB$ является расстоянием между центрами окружностей.

В задачах, требующих конкретного числового ответа без указания дополнительных параметров, часто подразумевается «стандартная» или симметричная конфигурация. Наиболее распространенным таким случаем для двух равных пересекающихся окружностей является ситуация, когда расстояние между их центрами $AB$ также равно радиусу $R$.

Если $AB = R$, то треугольник $\triangle ACB$ имеет все стороны равными $R$ ($AC = BC = AB = R$). Такой треугольник является равносторонним.

Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$.

Следовательно, в этом случае угол $\angle ACB = 60^\circ$. Этот угол и является искомым углом поворота.

Ответ: $60^\circ$.