Номер 145, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

145. Докажите, используя векторы, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Дано:

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Пусть $A$, $B$, $C$ - вершины треугольника, а $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ - их радиус-векторы относительно некоторого начала координат $O$.

Пусть $AD$, $BE$, $CF$ - высоты треугольника $ABC$, где $D$ лежит на $BC$, $E$ на $AC$, $F$ на $AB$. По определению, высота перпендикулярна соответствующей стороне.

Найти:

Доказать, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке (ортоцентре).

Решение:

Пусть $H$ - точка пересечения двух высот, например, высоты $AD$ (из вершины $A$ к стороне $BC$) и высоты $BE$ (из вершины $B$ к стороне $AC$). Пусть $\vec{h}$ - радиус-вектор точки $H$.

Так как $AH$ является частью высоты $AD$, то вектор $\vec{AH}$ перпендикулярен вектору $\vec{BC}$.Это можно записать в виде скалярного произведения: $(\vec{h} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0$. (1)

Так как $BH$ является частью высоты $BE$, то вектор $\vec{BH}$ перпендикулярен вектору $\vec{AC}$.Это можно записать в виде скалярного произведения: $(\vec{h} - \vec{b}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0$. (2)

Раскроем скобки в уравнениях (1) и (2):
Из (1): $\vec{h} \cdot \vec{c} - \vec{h} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. (1')
Из (2): $\vec{h} \cdot \vec{c} - \vec{h} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{a} = 0$. (2')

Вычтем уравнение (2') из уравнения (1'):
$(\vec{h} \cdot \vec{c} - \vec{h} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{h} \cdot \vec{c} - \vec{h} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{a}) = 0$
$\vec{h} \cdot \vec{c} - \vec{h} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{h} \cdot \vec{c} + \vec{h} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{a} = 0$

Заметим, что $\vec{h} \cdot \vec{c}$ и $-\vec{h} \cdot \vec{c}$ взаимно уничтожаются. Также, $\vec{a} \cdot \vec{b}$ и $-\vec{b} \cdot \vec{a}$ взаимно уничтожаются, поскольку скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$).

Оставшиеся члены: $-\vec{h} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{h} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{c} = 0$.

Перегруппируем члены:
$\vec{h} \cdot \vec{a} - \vec{h} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$

Вынесем общие множители:
$\vec{h} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) + \vec{c} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0$

Заметим, что $\vec{b} - \vec{a} = -(\vec{a} - \vec{b})$. Подставим это:
$\vec{h} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$

Вынесем общий множитель $(\vec{a} - \vec{b})$:
$(\vec{h} - \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$

Это уравнение означает, что вектор $\vec{CH}$ перпендикулярен вектору $\vec{AB}$. То есть, прямая $CH$ является высотой, опущенной из вершины $C$ на сторону $AB$.

Поскольку $CH$ проходит через точку $H$, которая является точкой пересечения двух других высот $AD$ и $BE$, это доказывает, что все три высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Ответ:

Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке, что следует из векторного равенства $(\vec{h} - \vec{c}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$, полученного из условий перпендикулярности двух других высот.