Номер 139, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

139. В окружности проведены радиусы $OA$, $OB$, $OC$. Найдите $\angle AOB$, если $\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{OC}$.

Дано:

В окружности проведены радиусы $OA, OB, OC$.

Дано векторное равенство $\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{OC}$.

Поскольку $OA, OB, OC$ являются радиусами одной и той же окружности, их длины равны. Пусть $R$ - радиус окружности.

Следовательно, $|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}| = R$.

Найти:

$\angle AOB$.

Решение:

Пусть $O$ - центр окружности. Векторы $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ имеют общее начало в точке $O$.

Дано векторное равенство $\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{OC}$.

По правилу параллелограмма для сложения векторов, если из одной точки $O$ отложены векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, то их сумма $\vec{OA} + \vec{OB}$ является вектором, совпадающим с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах, выходящей из той же точки $O$.

Пусть $D$ - такая точка, что $OADB$ является параллелограммом. Тогда $\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{OB}$.

Из данного условия $\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{OC}$ следует, что $\vec{OD} = \vec{OC}$. Поскольку оба вектора начинаются из точки $O$, это означает, что точка $D$ совпадает с точкой $C$.

Таким образом, $OACB$ является параллелограммом, где $C$ - вершина, противоположная $O$.

Поскольку $OA$ и $OB$ - это смежные стороны параллелограмма, и их длины равны ($OA=OB=R$), то этот параллелограмм является ромбом. В ромбе все четыре стороны равны.

Следовательно, $OA = OB = AC = BC = R$.

Теперь рассмотрим длины всех радиусов и сторон полученного ромба:

$OA = R$ (радиус)

$OB = R$ (радиус)

$OC = R$ (радиус)

$AC = R$ (сторона ромба, равна $OB$)

$BC = R$ (сторона ромба, равна $OA$)

Рассмотрим треугольник $\triangle OAC$. Его стороны: $OA=R$, $OC=R$, $AC=R$. Поскольку все три стороны равны $R$, треугольник $\triangle OAC$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, $\angle AOC = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OBC$. Его стороны: $OB=R$, $OC=R$, $BC=R$. Поскольку все три стороны равны $R$, треугольник $\triangle OBC$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, $\angle BOC = 60^\circ$.

Диагональ ромба $OC$ делит угол $\angle AOB$ пополам. То есть, $\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC$.

Подставляем найденные значения углов:

$\angle AOB = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ:

$\angle AOB = 120^\circ$.