Номер 132, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

132. Найдите угол между векторами $\vec{AB}(2;0)$ и $\vec{CD}(-2;2)$ и угол между прямыми $AB$ и $CD$.

Дано:

Вектор $\vec{AB} = (2; 0)$
Вектор $\vec{CD} = (-2; 2)$

Найти:

Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.
Угол между прямыми $AB$ и $CD$.

Решение:

Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$

Для нахождения угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ используется формула:

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

1. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}(2; 0)$ и $\vec{CD}(-2; 2)$: $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (2) \cdot (-2) + (0) \cdot (2) = -4 + 0 = -4$

2. Вычислим длины (модули) векторов: $|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 0} = \sqrt{4} = 2$ $|\vec{CD}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

3. Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла: $\cos \theta = \frac{-4}{2 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{-4}{4\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

4. Найдем угол $\theta$: $\theta = \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ $\theta = 135^\circ$

Ответ: Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ составляет $135^\circ$.

Угол между прямыми $AB$ и $CD$

Угол между двумя прямыми определяется как острый угол между их направляющими векторами. Если $\theta$ - угол между векторами, то угол $\phi$ между прямыми находится по формуле: $\cos \phi = |\cos \theta|$

Мы уже нашли $\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Тогда $\cos \phi = \left|-\frac{\sqrt{2}}{2}\right| = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Найдем угол $\phi$: $\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ $\phi = 45^\circ$

Ответ: Угол между прямыми $AB$ и $CD$ составляет $45^\circ$.