Номер 131, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

131. Дан треугольник с вершинами $A(-7; 5)$, $B(3; -1)$, $C(5; 3)$.

Составьте уравнение прямой, содержащей:

а) его среднюю линию $MN$, параллельную $BC$;

б) высоту $BH$.

Дано:

Вершины треугольника:

$A(-7; 5)$

$B(3; -1)$

$C(5; 3)$

Найти:

a) Уравнение средней линии $MN$, параллельной $BC$.

б) Уравнение высоты $BH$.

Решение:

a) его среднюю линию MN, параллельную BC

Средняя линия треугольника $MN$, параллельная стороне $BC$, соединяет середины двух других сторон, а именно $M$ - середина $AB$ и $N$ - середина $AC$. Также известно, что средняя линия параллельна третьей стороне, то есть $MN \parallel BC$. Это означает, что угловые коэффициенты прямых $MN$ и $BC$ равны: $k_{MN} = k_{BC}$.

1. Найдем угловой коэффициент прямой $BC$.

Координаты точек $B(3; -1)$ и $C(5; 3)$.

Угловой коэффициент $k_{BC}$ вычисляется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

$k_{BC} = \frac{3 - (-1)}{5 - 3} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Следовательно, угловой коэффициент прямой $MN$ равен $k_{MN} = 2$.

2. Найдем координаты точки $M$, которая является серединой отрезка $AB$.

Координаты точек $A(-7; 5)$ и $B(3; -1)$.

Координаты середины отрезка $M(x_M; y_M)$ вычисляются по формулам: $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$ и $y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$.

$x_M = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

$y_M = \frac{5 + (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Итак, точка $M$ имеет координаты $(-2; 2)$.

3. Составим уравнение прямой $MN$, проходящей через точку $M(-2; 2)$ с угловым коэффициентом $k_{MN} = 2$.

Используем уравнение прямой с угловым коэффициентом: $y - y_1 = k(x - x_1)$.

$y - 2 = 2(x - (-2))$

$y - 2 = 2(x + 2)$

$y - 2 = 2x + 4$

$y = 2x + 6$.

Это уравнение можно также записать в общем виде: $2x - y + 6 = 0$.

Ответ: $y = 2x + 6$ или $2x - y + 6 = 0$.

б) высоту BH

Высота $BH$ проведена из вершины $B$ к стороне $AC$. Это означает, что прямая $BH$ перпендикулярна прямой $AC$. Если две прямые перпендикулярны, то произведение их угловых коэффициентов равно $-1$ (при условии, что ни одна из них не является горизонтальной или вертикальной).

1. Найдем угловой коэффициент прямой $AC$.

Координаты точек $A(-7; 5)$ и $C(5; 3)$.

$k_{AC} = \frac{3 - 5}{5 - (-7)} = \frac{-2}{5 + 7} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$.

2. Найдем угловой коэффициент высоты $BH$.

Поскольку $BH \perp AC$, то $k_{BH} \cdot k_{AC} = -1$.

$k_{BH} \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = -1$.

$k_{BH} = 6$.

3. Составим уравнение прямой $BH$, проходящей через точку $B(3; -1)$ с угловым коэффициентом $k_{BH} = 6$.

Используем уравнение прямой с угловым коэффициентом: $y - y_1 = k(x - x_1)$.

$y - (-1) = 6(x - 3)$

$y + 1 = 6x - 18$

$y = 6x - 19$.

Это уравнение можно также записать в общем виде: $6x - y - 19 = 0$.

Ответ: $y = 6x - 19$ или $6x - y - 19 = 0$.