Номер 129, страница 54 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

129. Составьте уравнение прямой, на которой лежит вектор $\overrightarrow{AC}$, если:
а) $A(2; 3)$, $C(0; 4)$;
б) $A(-14; 15)$, $C(5; 10)$.

а)

Дано:

Точка $A = (2, 3)$

Точка $C = (0, 4)$

Найти:

Уравнение прямой, на которой лежит вектор $\vec{AC}$.

Решение

Для составления уравнения прямой, проходящей через две заданные точки $A(x_1, y_1)$ и $C(x_2, y_2)$, используем формулу:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек $A(2, 3)$ и $C(0, 4)$ в эту формулу:

$\frac{x - 2}{0 - 2} = \frac{y - 3}{4 - 3}$

Упростим знаменатели:

$\frac{x - 2}{-2} = \frac{y - 3}{1}$

Чтобы избавиться от знаменателей, перемножим выражения крест-накрест:

$1 \cdot (x - 2) = -2 \cdot (y - 3)$

Раскроем скобки:

$x - 2 = -2y + 6$

Перенесем все члены в одну сторону уравнения, чтобы получить общее уравнение прямой $Ax + By + C = 0$:

$x + 2y - 2 - 6 = 0$

$x + 2y - 8 = 0$

Ответ: $x + 2y - 8 = 0$

б)

Дано:

Точка $A = (-14, 15)$

Точка $C = (5, 10)$

Найти:

Уравнение прямой, на которой лежит вектор $\vec{AC}$.

Решение

Для составления уравнения прямой, проходящей через две заданные точки $A(x_1, y_1)$ и $C(x_2, y_2)$, используем формулу:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек $A(-14, 15)$ и $C(5, 10)$ в эту формулу:

$\frac{x - (-14)}{5 - (-14)} = \frac{y - 15}{10 - 15}$

Упростим знаменатели:

$\frac{x + 14}{5 + 14} = \frac{y - 15}{-5}$

$\frac{x + 14}{19} = \frac{y - 15}{-5}$

Чтобы избавиться от знаменателей, перемножим выражения крест-накрест:

$-5 \cdot (x + 14) = 19 \cdot (y - 15)$

Раскроем скобки:

$-5x - 70 = 19y - 285$

Перенесем все члены в одну сторону уравнения, чтобы получить общее уравнение прямой $Ax + By + C = 0$:

$-5x - 19y - 70 + 285 = 0$

$-5x - 19y + 215 = 0$

Умножим уравнение на $-1$ для удобства записи (чтобы коэффициент при $x$ был положительным):

$5x + 19y - 215 = 0$

Ответ: $5x + 19y - 215 = 0$