Номер 128, страница 54 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

128. Докажите, что вектор $\vec{m} (4; 5)$ перпендикулярен прямой, заданной уравнением:

а) $4x + 5y = 0$;

б) $4x + 5y = 7$.

Дано:

Вектор $\vec{m}$ с координатами $(4; 5)$.

Уравнение прямой a): $4x + 5y = 0$.

Уравнение прямой b): $4x + 5y = 7$.

Найти:

Доказать, что вектор $\vec{m}$ перпендикулярен прямой, заданной уравнением:

a) $4x + 5y = 0$;

b) $4x + 5y = 7$.

Решение:

Общее уравнение прямой в декартовой системе координат имеет вид $Ax + By + C = 0$. Вектор $\vec{n}(A; B)$, составленный из коэффициентов при $x$ и $y$, является нормальным вектором к этой прямой. Нормальный вектор по определению перпендикулярен прямой.

a)

Рассмотрим уравнение прямой: $4x + 5y = 0$.

Это уравнение можно представить в общем виде $Ax + By + C = 0$, где $A = 4$, $B = 5$, $C = 0$.

Нормальный вектор для данной прямой имеет координаты $\vec{n}(A; B) = \vec{n}(4; 5)$.

Данный в условии вектор $\vec{m}$ имеет координаты $(4; 5)$.

Таким образом, вектор $\vec{m}(4; 5)$ совпадает с нормальным вектором $\vec{n}(4; 5)$ к прямой $4x + 5y = 0$.

Поскольку нормальный вектор всегда перпендикулярен прямой, то и вектор $\vec{m}$ перпендикулярен прямой $4x + 5y = 0$.

Ответ: Вектор $\vec{m}(4; 5)$ перпендикулярен прямой $4x + 5y = 0$, так как является ее нормальным вектором.

б)

Рассмотрим уравнение прямой: $4x + 5y = 7$.

Это уравнение можно представить в общем виде $Ax + By + C = 0$, перенеся константу в левую часть: $4x + 5y - 7 = 0$. Здесь $A = 4$, $B = 5$, $C = -7$.

Нормальный вектор для данной прямой имеет координаты $\vec{n}(A; B) = \vec{n}(4; 5)$.

Данный в условии вектор $\vec{m}$ имеет координаты $(4; 5)$.

Таким образом, вектор $\vec{m}(4; 5)$ совпадает с нормальным вектором $\vec{n}(4; 5)$ к прямой $4x + 5y = 7$.

Поскольку нормальный вектор всегда перпендикулярен прямой, то и вектор $\vec{m}$ перпендикулярен прямой $4x + 5y = 7$.

Ответ: Вектор $\vec{m}(4; 5)$ перпендикулярен прямой $4x + 5y = 7$, так как является ее нормальным вектором.