Номер 133, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

133. Найдите с точностью до 1° угол между прямыми, заданными уравнениями:

а) $y = \frac{1}{4}x, y = 4x;$

б) $y = -x + 3, y = 2x + 3.$

a)

Дано:

Уравнения прямых:

$L_1: y = \frac{1}{4}x$. Угловой коэффициент $m_1 = \frac{1}{4}$.

$L_2: y = 4x$. Угловой коэффициент $m_2 = 4$.

Найти:

Угол $\theta$ между прямыми $L_1$ и $L_2$ с точностью до $1^\circ$.

Решение:

Для нахождения угла $\theta$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $m_1$ и $m_2$ используется формула:

$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$

Подставим значения $m_1 = \frac{1}{4}$ и $m_2 = 4$ в формулу:

$\tan \theta = \left| \frac{4 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4} \cdot 4} \right|$

Вычислим числитель:

$4 - \frac{1}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$

Вычислим знаменатель:

$1 + \frac{1}{4} \cdot 4 = 1 + 1 = 2$

Теперь подставим эти значения обратно в формулу для $\tan \theta$:

$\tan \theta = \left| \frac{\frac{15}{4}}{2} \right| = \frac{15}{4 \cdot 2} = \frac{15}{8}$

$\tan \theta = 1.875$

Для нахождения угла $\theta$, возьмем арктангенс от полученного значения:

$\theta = \arctan(1.875)$

Вычисляем значение $\theta$ и округляем до $1^\circ$:

$\theta \approx 61.9275^\circ \approx 62^\circ$

Ответ:

Угол $\theta \approx 62^\circ$.

б)

Дано:

Уравнения прямых:

$L_1: y = -x + 3$. Угловой коэффициент $m_1 = -1$.

$L_2: y = 2x + 3$. Угловой коэффициент $m_2 = 2$.

Найти:

Угол $\theta$ между прямыми $L_1$ и $L_2$ с точностью до $1^\circ$.

Решение:

Используем ту же формулу для нахождения угла $\theta$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $m_1$ и $m_2$:

$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$

Подставим значения $m_1 = -1$ и $m_2 = 2$ в формулу:

$\tan \theta = \left| \frac{2 - (-1)}{1 + (-1) \cdot 2} \right|$

Вычислим числитель:

$2 - (-1) = 2 + 1 = 3$

Вычислим знаменатель:

$1 + (-1) \cdot 2 = 1 - 2 = -1$

Теперь подставим эти значения обратно в формулу для $\tan \theta$:

$\tan \theta = \left| \frac{3}{-1} \right| = |-3| = 3$

Для нахождения угла $\theta$, возьмем арктангенс от полученного значения:

$\theta = \arctan(3)$

Вычисляем значение $\theta$ и округляем до $1^\circ$:

$\theta \approx 71.565^\circ \approx 72^\circ$

Ответ:

Угол $\theta \approx 72^\circ$.