Страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

уровень А

130. Можно ли составить уравнение прямой, на которой лежит вектор $\vec{MN} (2; 3)$? Ответ объясните.

Решение

Вектор, заданный своими координатами, например, $\vec{MN}(2; 3)$, определяет лишь направление и величину отрезка. Он не задаёт уникального положения в пространстве, то есть не определяет конкретные начальную и конечную точки, через которые проходит этот отрезок. Вектор $\vec{MN}(2; 3)$ может быть перенесён в любую точку плоскости.

Если прямая содержит данный вектор, это означает, что вектор параллелен этой прямой или является её отрезком. Вектор $\vec{MN}(2; 3)$ может рассматриваться как направляющий вектор для прямой.

Для составления уникального уравнения прямой необходимо знать либо две точки, через которые проходит прямая, либо одну точку и её направляющий вектор (или нормальный вектор).

Так как нам даны только координаты самого вектора $\vec{MN}(2; 3)$, который может быть началом в любой точке координатной плоскости, существует бесконечное множество параллельных прямых, на которых может "лежать" такой вектор. Каждая из этих прямых будет иметь своё уникальное уравнение. Например, если вектор $\vec{MN}$ начинается в точке $M(0;0)$, то его конец $N$ будет в точке $(0+2; 0+3)$, то есть $N(2;3)$. Уравнение прямой, проходящей через $M(0;0)$ и $N(2;3)$, можно найти, используя в качестве направляющего вектора $\vec{d}=(2;3)$. Тогда, например, нормальный вектор будет $\vec{n}=(-3;2)$. Общее уравнение прямой имеет вид $Ax + By + C = 0$. Подставляя координаты нормального вектора, получаем $-3x + 2y + C = 0$. Подставляя координаты точки $M(0;0)$, находим $C$: $-3(0) + 2(0) + C = 0 \Rightarrow C = 0$. Таким образом, уравнение прямой будет $-3x + 2y = 0$.

Если же вектор $\vec{MN}$ начинается в точке $M(1;1)$, то его конец $N$ будет в точке $(1+2; 1+3)$, то есть $N(3;4)$. Уравнение прямой, проходящей через $M(1;1)$ и $N(3;4)$, с тем же нормальным вектором $\vec{n}=(-3;2)$ будет $-3x + 2y + C = 0$. Подставляя координаты точки $M(1;1)$, находим $C$: $-3(1) + 2(1) + C = 0 \Rightarrow -3 + 2 + C = 0 \Rightarrow -1 + C = 0 \Rightarrow C = 1$. Тогда уравнение прямой будет $-3x + 2y + 1 = 0$.

Как видно из примеров, уравнения прямых различны, хотя на них лежит один и тот же вектор (в смысле его направления и длины). Таким образом, без указания конкретной точки, через которую проходит прямая, невозможно составить её уникальное уравнение.

Ответ: Нет, нельзя составить уникальное уравнение прямой, на которой лежит вектор $\vec{MN}(2; 3)$, так как вектор определяет только направление и длину, но не положение прямой в пространстве. Для составления уникального уравнения прямой необходима дополнительная информация, например, координаты одной из точек, принадлежащих этой прямой.

131. Дан треугольник с вершинами $A(-7; 5)$, $B(3; -1)$, $C(5; 3)$.

Составьте уравнение прямой, содержащей:

а) его среднюю линию $MN$, параллельную $BC$;

б) высоту $BH$.

Дано:

Вершины треугольника:

$A(-7; 5)$

$B(3; -1)$

$C(5; 3)$

Найти:

a) Уравнение средней линии $MN$, параллельной $BC$.

б) Уравнение высоты $BH$.

Решение:

a) его среднюю линию MN, параллельную BC

Средняя линия треугольника $MN$, параллельная стороне $BC$, соединяет середины двух других сторон, а именно $M$ - середина $AB$ и $N$ - середина $AC$. Также известно, что средняя линия параллельна третьей стороне, то есть $MN \parallel BC$. Это означает, что угловые коэффициенты прямых $MN$ и $BC$ равны: $k_{MN} = k_{BC}$.

1. Найдем угловой коэффициент прямой $BC$.

Координаты точек $B(3; -1)$ и $C(5; 3)$.

Угловой коэффициент $k_{BC}$ вычисляется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

$k_{BC} = \frac{3 - (-1)}{5 - 3} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Следовательно, угловой коэффициент прямой $MN$ равен $k_{MN} = 2$.

2. Найдем координаты точки $M$, которая является серединой отрезка $AB$.

Координаты точек $A(-7; 5)$ и $B(3; -1)$.

Координаты середины отрезка $M(x_M; y_M)$ вычисляются по формулам: $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$ и $y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$.

$x_M = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

$y_M = \frac{5 + (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Итак, точка $M$ имеет координаты $(-2; 2)$.

3. Составим уравнение прямой $MN$, проходящей через точку $M(-2; 2)$ с угловым коэффициентом $k_{MN} = 2$.

Используем уравнение прямой с угловым коэффициентом: $y - y_1 = k(x - x_1)$.

$y - 2 = 2(x - (-2))$

$y - 2 = 2(x + 2)$

$y - 2 = 2x + 4$

$y = 2x + 6$.

Это уравнение можно также записать в общем виде: $2x - y + 6 = 0$.

Ответ: $y = 2x + 6$ или $2x - y + 6 = 0$.

б) высоту BH

Высота $BH$ проведена из вершины $B$ к стороне $AC$. Это означает, что прямая $BH$ перпендикулярна прямой $AC$. Если две прямые перпендикулярны, то произведение их угловых коэффициентов равно $-1$ (при условии, что ни одна из них не является горизонтальной или вертикальной).

1. Найдем угловой коэффициент прямой $AC$.

Координаты точек $A(-7; 5)$ и $C(5; 3)$.

$k_{AC} = \frac{3 - 5}{5 - (-7)} = \frac{-2}{5 + 7} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$.

2. Найдем угловой коэффициент высоты $BH$.

Поскольку $BH \perp AC$, то $k_{BH} \cdot k_{AC} = -1$.

$k_{BH} \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = -1$.

$k_{BH} = 6$.

3. Составим уравнение прямой $BH$, проходящей через точку $B(3; -1)$ с угловым коэффициентом $k_{BH} = 6$.

Используем уравнение прямой с угловым коэффициентом: $y - y_1 = k(x - x_1)$.

$y - (-1) = 6(x - 3)$

$y + 1 = 6x - 18$

$y = 6x - 19$.

Это уравнение можно также записать в общем виде: $6x - y - 19 = 0$.

Ответ: $y = 6x - 19$ или $6x - y - 19 = 0$.

132. Найдите угол между векторами $\vec{AB}(2;0)$ и $\vec{CD}(-2;2)$ и угол между прямыми $AB$ и $CD$.

Дано:

Вектор $\vec{AB} = (2; 0)$
Вектор $\vec{CD} = (-2; 2)$

Найти:

Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.
Угол между прямыми $AB$ и $CD$.

Решение:

Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$

Для нахождения угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ используется формула:

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

1. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}(2; 0)$ и $\vec{CD}(-2; 2)$: $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (2) \cdot (-2) + (0) \cdot (2) = -4 + 0 = -4$

2. Вычислим длины (модули) векторов: $|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 0} = \sqrt{4} = 2$ $|\vec{CD}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

3. Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла: $\cos \theta = \frac{-4}{2 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{-4}{4\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

4. Найдем угол $\theta$: $\theta = \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ $\theta = 135^\circ$

Ответ: Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ составляет $135^\circ$.

Угол между прямыми $AB$ и $CD$

Угол между двумя прямыми определяется как острый угол между их направляющими векторами. Если $\theta$ - угол между векторами, то угол $\phi$ между прямыми находится по формуле: $\cos \phi = |\cos \theta|$

Мы уже нашли $\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Тогда $\cos \phi = \left|-\frac{\sqrt{2}}{2}\right| = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Найдем угол $\phi$: $\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ $\phi = 45^\circ$

Ответ: Угол между прямыми $AB$ и $CD$ составляет $45^\circ$.

133. Найдите с точностью до 1° угол между прямыми, заданными уравнениями:

а) $y = \frac{1}{4}x, y = 4x;$

б) $y = -x + 3, y = 2x + 3.$

a)

Дано:

Уравнения прямых:

$L_1: y = \frac{1}{4}x$. Угловой коэффициент $m_1 = \frac{1}{4}$.

$L_2: y = 4x$. Угловой коэффициент $m_2 = 4$.

Найти:

Угол $\theta$ между прямыми $L_1$ и $L_2$ с точностью до $1^\circ$.

Решение:

Для нахождения угла $\theta$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $m_1$ и $m_2$ используется формула:

$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$

Подставим значения $m_1 = \frac{1}{4}$ и $m_2 = 4$ в формулу:

$\tan \theta = \left| \frac{4 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4} \cdot 4} \right|$

Вычислим числитель:

$4 - \frac{1}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$

Вычислим знаменатель:

$1 + \frac{1}{4} \cdot 4 = 1 + 1 = 2$

Теперь подставим эти значения обратно в формулу для $\tan \theta$:

$\tan \theta = \left| \frac{\frac{15}{4}}{2} \right| = \frac{15}{4 \cdot 2} = \frac{15}{8}$

$\tan \theta = 1.875$

Для нахождения угла $\theta$, возьмем арктангенс от полученного значения:

$\theta = \arctan(1.875)$

Вычисляем значение $\theta$ и округляем до $1^\circ$:

$\theta \approx 61.9275^\circ \approx 62^\circ$

Ответ:

Угол $\theta \approx 62^\circ$.

б)

Дано:

Уравнения прямых:

$L_1: y = -x + 3$. Угловой коэффициент $m_1 = -1$.

$L_2: y = 2x + 3$. Угловой коэффициент $m_2 = 2$.

Найти:

Угол $\theta$ между прямыми $L_1$ и $L_2$ с точностью до $1^\circ$.

Решение:

Используем ту же формулу для нахождения угла $\theta$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $m_1$ и $m_2$:

$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$

Подставим значения $m_1 = -1$ и $m_2 = 2$ в формулу:

$\tan \theta = \left| \frac{2 - (-1)}{1 + (-1) \cdot 2} \right|$

Вычислим числитель:

$2 - (-1) = 2 + 1 = 3$

Вычислим знаменатель:

$1 + (-1) \cdot 2 = 1 - 2 = -1$

Теперь подставим эти значения обратно в формулу для $\tan \theta$:

$\tan \theta = \left| \frac{3}{-1} \right| = |-3| = 3$

Для нахождения угла $\theta$, возьмем арктангенс от полученного значения:

$\theta = \arctan(3)$

Вычисляем значение $\theta$ и округляем до $1^\circ$:

$\theta \approx 71.565^\circ \approx 72^\circ$

Ответ:

Угол $\theta \approx 72^\circ$.

уровень 2

134. Дан четырехугольник с вершинами $A(-2; -2)$, $B(-3; 1)$, $C(7; 7)$ и $D(3; -1)$. Найдите синус угла между его диагоналями.

Дано:

Вершины четырехугольника: $A(-2; -2)$, $B(-3; 1)$, $C(7; 7)$, $D(3; -1)$.

Найти:

Синус угла между диагоналями четырехугольника.

Решение:

Для нахождения синуса угла между диагоналями AC и BD, сначала найдем координаты векторов, соответствующих этим диагоналям.

1. Найдем координаты вектора $\vec{AC}$: $AC_x = C_x - A_x = 7 - (-2) = 9$ $AC_y = C_y - A_y = 7 - (-2) = 9$ Таким образом, $\vec{AC} = (9; 9)$.

2. Найдем координаты вектора $\vec{BD}$: $BD_x = D_x - B_x = 3 - (-3) = 6$ $BD_y = D_y - B_y = -1 - 1 = -2$ Таким образом, $\vec{BD} = (6; -2)$.

3. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$: $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = AC_x \cdot BD_x + AC_y \cdot BD_y = 9 \cdot 6 + 9 \cdot (-2) = 54 - 18 = 36$.

4. Вычислим длины (модули) векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$: $|\vec{AC}| = \sqrt{AC_x^2 + AC_y^2} = \sqrt{9^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = 9\sqrt{2}$. $|\vec{BD}| = \sqrt{BD_x^2 + BD_y^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$.

5. Найдем косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ по формуле $\cos(\theta) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{BD}}{|\vec{AC}| |\vec{BD}|}$: $\cos(\theta) = \frac{36}{9\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{10}} = \frac{36}{18\sqrt{20}} = \frac{2}{\sqrt{20}} = \frac{2}{\sqrt{4 \cdot 5}} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

6. Найдем синус угла $\theta$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$. Поскольку угол между диагоналями может быть острым или тупым (но обычно имеется в виду острый угол), и синус угла в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$ всегда неотрицателен, возьмем положительное значение корня: $\sin(\theta) = \sqrt{1 - \cos^2(\theta)} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{5 - 1}{5}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$. Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$: $\sin(\theta) = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Ответ:

$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

135. Найдите площадь $\triangle ABC$, если:

а) $A(-6; -2)$, $B(4; 8)$, $C(2; -8)$;

б) $A(-2; -2)$, $B(1; 1)$, $C(3; -7)$.

а)

Дано:

координаты вершин треугольника ABC: $A(-6; -2)$, $B(4; 8)$, $C(2; -8)$.

Перевод в СИ:

Координаты являются безразмерными величинами в данной задаче, перевод в СИ не требуется.

Найти:

Площадь треугольника ABC ($S_{ABC}$).

Решение:

Используем формулу площади треугольника по координатам его вершин:

$S = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$

Подставляем координаты:

$x_A = -6$, $y_A = -2$
$x_B = 4$, $y_B = 8$
$x_C = 2$, $y_C = -8$

Вычисляем значение выражения внутри модуля:

$(-6)(8 - (-8)) + 4(-8 - (-2)) + 2(-2 - 8)$

$= (-6)(8 + 8) + 4(-8 + 2) + 2(-10)$

$= (-6)(16) + 4(-6) + (-20)$

$= -96 - 24 - 20$

$= -140$

Теперь подставляем это значение в формулу площади:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} |-140|$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 140$

$S_{ABC} = 70$

Ответ: 70

б)

Дано:

координаты вершин треугольника ABC: $A(-2; -2)$, $B(1; 1)$, $C(3; -7)$.

Перевод в СИ:

Координаты являются безразмерными величинами в данной задаче, перевод в СИ не требуется.

Найти:

Площадь треугольника ABC ($S_{ABC}$).

Решение:

Используем формулу площади треугольника по координатам его вершин:

$S = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$

Подставляем координаты:

$x_A = -2$, $y_A = -2$
$x_B = 1$, $y_B = 1$
$x_C = 3$, $y_C = -7$

Вычисляем значение выражения внутри модуля:

$(-2)(1 - (-7)) + 1(-7 - (-2)) + 3(-2 - 1)$

$= (-2)(1 + 7) + 1(-7 + 2) + 3(-3)$

$= (-2)(8) + 1(-5) + (-9)$

$= -16 - 5 - 9$

$= -30$

Теперь подставляем это значение в формулу площади:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} |-30|$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 30$

$S_{ABC} = 15$

Ответ: 15

136. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах $ \vec{a} = 6\vec{i} + 3\vec{j} $, $ \vec{b} = 3\vec{i} - 2\vec{j} $.

Дано:

$\vec{a} = 6\vec{i} + 3\vec{j}$

$\vec{b} = 3\vec{i} - 2\vec{j}$

(Векторы заданы в декартовой системе координат. Можно представить их в трехмерном пространстве с нулевой z-компонентой для удобства вычислений векторного произведения:$\vec{a} = (6, 3, 0)$$\vec{b} = (3, -2, 0)$)

Найти:

Площадь параллелограмма $S$.

Решение:

Площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$, равна модулю их векторного произведения: $S = |\vec{a} \times \vec{b}|$.

Вычислим векторное произведение $\vec{a} \times \vec{b}$:

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 6 & 3 & 0 \\ 3 & -2 & 0 \end{vmatrix}$

$= \vec{i}(3 \cdot 0 - 0 \cdot (-2)) - \vec{j}(6 \cdot 0 - 0 \cdot 3) + \vec{k}(6 \cdot (-2) - 3 \cdot 3)$

$= \vec{i}(0 - 0) - \vec{j}(0 - 0) + \vec{k}(-12 - 9)$

$= 0\vec{i} - 0\vec{j} - 21\vec{k}$

$= -21\vec{k}$

Теперь найдем модуль полученного вектора:

$S = |-21\vec{k}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-21)^2} = \sqrt{441} = 21$

Ответ:

$21$

137. Сторона $AC$ треугольника $ABC$ равна 14 см. На стороне $BC$ отмечена точка $K$ так, что $BK : KC = 2 : 5$, а на стороне $AB$ – точка $M$ так, что $BM : MA = 5 : 2$. Найдите длины отрезков $KP$ и $MN$, параллельных стороне $AC$ ($P \in AB, N \in BC$).

Дано:

Треугольник $ABC$.

Сторона $AC = 14 \text{ см}$.

Точка $K$ на стороне $BC$ такая, что $BK : KC = 2 : 5$.

Точка $M$ на стороне $AB$ такая, что $BM : MA = 5 : 2$.

Отрезок $KP \parallel AC$, где $P \in AB$.

Отрезок $MN \parallel AC$, где $N \in BC$.

Перевод в СИ:

$AC = 14 \text{ см} = 0.14 \text{ м}$.

Найти:

Длины отрезков $KP$ и $MN$.

Решение:

Длина отрезка KP

По условию, отрезок $KP \parallel AC$. Поскольку точка $K$ лежит на стороне $BC$, а точка $P$ - на стороне $AB$, образуется треугольник $BKP$. Треугольник $BKP$ подобен треугольнику $BAC$ по двум углам (угол $B$ - общий для обоих треугольников, а углы $\angle BKP$ и $\angle BCA$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $KP$ и $AC$ и секущей $BC$).

Из подобия треугольников следует отношение сходственных сторон:

$\frac{KP}{AC} = \frac{BK}{BC}$.

По условию, отношение $BK : KC = 2 : 5$. Это означает, что если $BK$ составляет $2$ части, то $KC$ составляет $5$ частей. Тогда вся сторона $BC$ состоит из $2 + 5 = 7$ таких частей.

Следовательно, отношение $\frac{BK}{BC} = \frac{2}{7}$.

Подставим это отношение в формулу подобия:

$\frac{KP}{AC} = \frac{2}{7}$.

Теперь выразим длину отрезка $KP$:

$KP = AC \cdot \frac{2}{7}$.

Подставим известное значение $AC = 14 \text{ см}$:

$KP = 14 \text{ см} \cdot \frac{2}{7} = \frac{14 \cdot 2}{7} = 2 \cdot 2 = 4 \text{ см}$.

Ответ: $4 \text{ см}$.

Длина отрезка MN

По условию, отрезок $MN \parallel AC$. Поскольку точка $M$ лежит на стороне $AB$, а точка $N$ - на стороне $BC$, образуется треугольник $BMN$. Треугольник $BMN$ подобен треугольнику $BAC$ по двум углам (угол $B$ - общий для обоих треугольников, а углы $\angle BMN$ и $\angle BAC$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$).

Из подобия треугольников следует отношение сходственных сторон:

$\frac{MN}{AC} = \frac{BM}{BA}$.

По условию, отношение $BM : MA = 5 : 2$. Это означает, что если $BM$ составляет $5$ частей, то $MA$ составляет $2$ части. Тогда вся сторона $BA$ состоит из $5 + 2 = 7$ таких частей.

Следовательно, отношение $\frac{BM}{BA} = \frac{5}{7}$.

Подставим это отношение в формулу подобия:

$\frac{MN}{AC} = \frac{5}{7}$.

Теперь выразим длину отрезка $MN$:

$MN = AC \cdot \frac{5}{7}$.

Подставим известное значение $AC = 14 \text{ см}$:

$MN = 14 \text{ см} \cdot \frac{5}{7} = \frac{14 \cdot 5}{7} = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}$.

Ответ: $10 \text{ см}$.

138. Найдите длину диагонали AC ромба ABCD, если $AB = 4 \text{ см}$ и $\angle A = 30^{\circ}$.

Дано

Ромб ABCD

$AB = 4$ см

$\angle A = 30^\circ$

Перевод в СИ:

$AB = 4$ см $= 0.04$ м

$\angle A = 30^\circ = \frac{\pi}{6}$ рад

Найти:

Длину диагонали $AC$.

Решение

В ромбе все стороны равны, поэтому $AB = BC = CD = DA = 4$ см. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Также диагонали ромба делят углы, из которых они исходят, пополам.

Рассмотрим диагональ $AC$. Она делит угол $\angle A$ пополам, то есть $\angle CAB = \angle CAD = \frac{\angle A}{2}$.

$\angle CAB = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$.

Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей ромба. Тогда треугольник $AOB$ является прямоугольным (поскольку диагонали ромба перпендикулярны).

В прямоугольном треугольнике $AOB$:

Гипотенуза $AB = 4$ см.

Катет $AO$ равен половине диагонали $AC$, то есть $AO = \frac{AC}{2}$.

Угол $\angle OAB = 15^\circ$.

Используем определение косинуса в прямоугольном треугольнике: $\cos(\angle OAB) = \frac{AO}{AB}$

Подставим известные значения: $\cos(15^\circ) = \frac{AC/2}{4}$

Отсюда выразим $AC$: $AC = 8 \cdot \cos(15^\circ)$

Теперь найдем значение $\cos(15^\circ)$ с помощью формулы косинуса разности углов: $\cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) + \sin(45^\circ)\sin(30^\circ)$

Известные значения синусов и косинусов стандартных углов: $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Подставим эти значения: $\cos(15^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$ $\cos(15^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$ $\cos(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Теперь подставим значение $\cos(15^\circ)$ в выражение для $AC$: $AC = 8 \cdot \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right)$ $AC = 2(\sqrt{6} + \sqrt{2})$

Ответ: $AC = 2(\sqrt{6} + \sqrt{2})$ см

139. В окружности проведены радиусы $OA$, $OB$, $OC$. Найдите $\angle AOB$, если $\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{OC}$.

Дано:

В окружности проведены радиусы $OA, OB, OC$.

Дано векторное равенство $\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{OC}$.

Поскольку $OA, OB, OC$ являются радиусами одной и той же окружности, их длины равны. Пусть $R$ - радиус окружности.

Следовательно, $|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}| = R$.

Найти:

$\angle AOB$.

Решение:

Пусть $O$ - центр окружности. Векторы $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ имеют общее начало в точке $O$.

Дано векторное равенство $\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{OC}$.

По правилу параллелограмма для сложения векторов, если из одной точки $O$ отложены векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, то их сумма $\vec{OA} + \vec{OB}$ является вектором, совпадающим с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах, выходящей из той же точки $O$.

Пусть $D$ - такая точка, что $OADB$ является параллелограммом. Тогда $\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{OB}$.

Из данного условия $\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{OC}$ следует, что $\vec{OD} = \vec{OC}$. Поскольку оба вектора начинаются из точки $O$, это означает, что точка $D$ совпадает с точкой $C$.

Таким образом, $OACB$ является параллелограммом, где $C$ - вершина, противоположная $O$.

Поскольку $OA$ и $OB$ - это смежные стороны параллелограмма, и их длины равны ($OA=OB=R$), то этот параллелограмм является ромбом. В ромбе все четыре стороны равны.

Следовательно, $OA = OB = AC = BC = R$.

Теперь рассмотрим длины всех радиусов и сторон полученного ромба:

$OA = R$ (радиус)

$OB = R$ (радиус)

$OC = R$ (радиус)

$AC = R$ (сторона ромба, равна $OB$)

$BC = R$ (сторона ромба, равна $OA$)

Рассмотрим треугольник $\triangle OAC$. Его стороны: $OA=R$, $OC=R$, $AC=R$. Поскольку все три стороны равны $R$, треугольник $\triangle OAC$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, $\angle AOC = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OBC$. Его стороны: $OB=R$, $OC=R$, $BC=R$. Поскольку все три стороны равны $R$, треугольник $\triangle OBC$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, $\angle BOC = 60^\circ$.

Диагональ ромба $OC$ делит угол $\angle AOB$ пополам. То есть, $\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC$.

Подставляем найденные значения углов:

$\angle AOB = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ:

$\angle AOB = 120^\circ$.

140. Докажите, применяя векторы, что диагонали ромба перпендикулярны.

Дано:

Рассмотрим ромб ABCD. Пусть смежные стороны ромба представлены векторами $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

По определению ромба, все его стороны равны по длине. Следовательно, длины векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

Найти:

Доказать, что диагонали ромба перпендикулярны, используя векторный метод. Это означает, что их скалярное произведение должно быть равно нулю.

Решение:

Обозначим векторы, соответствующие диагоналям ромба. Одна диагональ - это вектор $\vec{AC}$. Используя правило сложения векторов (правило треугольника), вектор $\vec{AC}$ можно выразить как сумму векторов смежных сторон, исходящих из одной вершины:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$

Так как ромб является частным случаем параллелограмма, противоположные стороны равны и параллельны, то есть $\vec{BC} = \vec{AD}$. Таким образом:

$\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$

Вторая диагональ - это вектор $\vec{DB}$. Этот вектор можно найти как разность векторов, исходящих из одной вершины, к которой не приходит диагональ, или по правилу треугольника:

$\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD}$

Следовательно:

$\vec{DB} = \vec{a} - \vec{b}$

Чтобы доказать, что диагонали перпендикулярны, необходимо вычислить их скалярное произведение и показать, что оно равно нулю. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{DB}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{DB} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

Используем свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность):

$\vec{AC} \cdot \vec{DB} = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

Так как $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$, члены $-\vec{a} \cdot \vec{b}$ и $+\vec{b} \cdot \vec{a}$ взаимно уничтожаются:

$\vec{AC} \cdot \vec{DB} = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

Мы знаем, что скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины: $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$. Применим это свойство:

$\vec{AC} \cdot \vec{DB} = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$

Поскольку ромб по определению имеет все стороны равной длины, мы имеем $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Возведя обе части этого равенства в квадрат, получим $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$.

Подставим это условие в выражение для скалярного произведения:

$\vec{AC} \cdot \vec{DB} = |\vec{a}|^2 - |\vec{a}|^2 = 0$

Поскольку скалярное произведение векторов диагоналей ромба равно нулю, это доказывает, что диагонали ромба перпендикулярны.

Ответ:

Диагонали ромба перпендикулярны.

141. Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, точки $M$ и $N$ – середины ее сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Докажите, что вектор, равный сумме векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$, коллинеарен вектору $\vec{MN}$.

Дано:

Трапеция $ABCD$.
Основания: $BC \parallel AD$.
Точка $M$ - середина стороны $AB$.
Точка $N$ - середина стороны $CD$.

Найти:

Доказать, что вектор $\vec{AC} + \vec{BD}$ коллинеарен вектору $\vec{MN}$.

Решение:

Для доказательства коллинеарности двух векторов, необходимо показать, что один вектор может быть выражен как произведение другого вектора на некоторый скаляр $k$, где $k \ne 0$. То есть, нам нужно доказать, что $\vec{AC} + \vec{BD} = k \cdot \vec{MN}$ для некоторого скаляра $k \ne 0$.

Выразим вектор $\vec{MN}$, который является вектором, соединяющим середины непараллельных сторон трапеции (медиана трапеции). Для этого воспользуемся правилом сложения векторов.

Вектор $\vec{MN}$ можно представить как сумму векторов, двигаясь от $M$ к $N$ через точки $A$ и $D$:
$\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DN}$ (1)
Также вектор $\vec{MN}$ можно представить как сумму векторов, двигаясь от $M$ к $N$ через точки $B$ и $C$:
$\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CN}$ (2)

Сложим уравнения (1) и (2):
$2\vec{MN} = (\vec{MA} + \vec{MB}) + (\vec{AD} + \vec{BC}) + (\vec{DN} + \vec{CN})$

Поскольку точка $M$ является серединой стороны $AB$, векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MB}$ являются противоположными, то есть $\vec{MA} + \vec{MB} = \vec{0}$.
Аналогично, поскольку точка $N$ является серединой стороны $CD$, векторы $\vec{DN}$ и $\vec{CN}$ являются противоположными, то есть $\vec{DN} + \vec{CN} = \vec{0}$.

Подставим эти равенства в выражение для $2\vec{MN}$:
$2\vec{MN} = \vec{0} + (\vec{AD} + \vec{BC}) + \vec{0}$
$2\vec{MN} = \vec{AD} + \vec{BC}$
Отсюда выразим вектор $\vec{MN}$:
$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})$ (3)

Теперь выразим сумму векторов $\vec{AC} + \vec{BD}$. Используем правило треугольника для разложения векторов.
Вектор $\vec{AC}$ можно представить как сумму векторов, идущих от $A$ к $C$ через $B$:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.
Вектор $\vec{BD}$ можно представить как сумму векторов, идущих от $B$ к $D$ через $A$:
$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD}$.

Сложим эти два выражения:
$\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{BA} + \vec{AD})$
Перегруппируем слагаемые:
$\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{AB} + \vec{BA} + \vec{BC} + \vec{AD}$

Поскольку векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ являются противоположными, их сумма равна нулевому вектору: $\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{0}$.

Таким образом:
$\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{0} + \vec{BC} + \vec{AD}$
$\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{AD}$ (4)

Сравнивая выражения (3) и (4), мы видим, что:
Из (3) мы получили: $\vec{AD} + \vec{BC} = 2\vec{MN}$.
Из (4) мы получили: $\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{AD}$.

Следовательно, мы можем подставить выражение для $(\vec{BC} + \vec{AD})$ из (3) в (4):
$\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{MN}$

Поскольку вектор $\vec{AC} + \vec{BD}$ равен произведению вектора $\vec{MN}$ на скаляр $2$, который не равен нулю, эти векторы являются коллинеарными по определению коллинеарности векторов.

Ответ:

Доказано, что вектор, равный сумме векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$, коллинеарен вектору $\vec{MN}$.