Страница 51 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

110. Найдите угол M треугольника с вершинами $M(-2\sqrt{3}; -1)$, $N(0; 1)$, $K(0; -1)$.

Дано:
Вершины треугольника: $M(-2\sqrt{3}; -1)$, $N(0; 1)$, $K(0; -1)$.

Перевод в СИ:
Координаты являются безразмерными величинами в данной задаче, поэтому перевод в СИ не требуется.

Найти:
Угол $M$.

Решение:
Для нахождения угла $M$ в треугольнике $MNK$ воспользуемся формулой для косинуса угла между двумя векторами, исходящими из одной вершины. В данном случае это векторы $\vec{MN}$ и $\vec{MK}$.

1. Найдем координаты векторов $\vec{MN}$ и $\vec{MK}$.
Координаты вектора определяются как разность координат конечной и начальной точек.

Для вектора $\vec{MN}$:
$x_{MN} = x_N - x_M = 0 - (-2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$
$y_{MN} = y_N - y_M = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$
Следовательно, $\vec{MN} = (2\sqrt{3}; 2)$.

Для вектора $\vec{MK}$:
$x_{MK} = x_K - x_M = 0 - (-2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$
$y_{MK} = y_K - y_M = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0$
Следовательно, $\vec{MK} = (2\sqrt{3}; 0)$.

2. Найдем длины (модули) векторов $\vec{MN}$ и $\vec{MK}$.
Длина вектора $V(x; y)$ вычисляется по формуле $|V| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Для $|\vec{MN}|$:
$|\vec{MN}| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{4 \cdot 3 + 4} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$.

Для $|\vec{MK}|$:
$|\vec{MK}| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{4 \cdot 3 + 0} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

3. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{MN}$ и $\vec{MK}$.
Скалярное произведение векторов $V_1(x_1; y_1)$ и $V_2(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $V_1 \cdot V_2 = x_1 x_2 + y_1 y_2$.

$\vec{MN} \cdot \vec{MK} = (2\sqrt{3})(2\sqrt{3}) + (2)(0) = (4 \cdot 3) + 0 = 12$.

4. Вычислим косинус угла $M$ по формуле:
$\cos(\angle M) = \frac{\vec{MN} \cdot \vec{MK}}{|\vec{MN}| \cdot |\vec{MK}|}$

$\cos(\angle M) = \frac{12}{4 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{12}{8\sqrt{3}}$

Сократим дробь и избавимся от иррациональности в знаменателе:
$\cos(\angle M) = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

5. Найдем значение угла $M$.
$\angle M = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Известно, что $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$.

Ответ:
Угол $M$ равен $30^\circ$.

111. Докажите, что ненулевые векторы $\vec{a}(m; n)$ и $\vec{b}(-n; m)$ перпендикулярны.

Дано:

Ненулевые векторы $\vec{a}(m; n)$ и $\vec{b}(-n; m)$.

В данном случае перевод данных в систему СИ не требуется, так как задача относится к векторной алгебре, а не к физическим величинам.

Найти:

Доказать, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны.

Решение:

Два ненулевых вектора перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$.

Для данных векторов $\vec{a}(m; n)$ и $\vec{b}(-n; m)$ вычислим их скалярное произведение:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (m) \cdot (-n) + (n) \cdot (m)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -mn + nm$

Поскольку $mn = nm$, мы можем переписать выражение как:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -mn + mn$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Так как скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равно нулю, это доказывает, что данные векторы перпендикулярны.

Ответ:

Векторы $\vec{a}(m; n)$ и $\vec{b}(-n; m)$ перпендикулярны, так как их скалярное произведение равно нулю.

112. Найдите все значения $m$, при которых векторы $\vec{a} = m\vec{i} - \vec{j}$ и $\vec{b} = (2m - 1)\vec{i} + \vec{j}$ перпендикулярны.

Дано:

Вектор $\vec{a} = m\vec{i} - \vec{j}$

Вектор $\vec{b} = (2m - 1)\vec{i} + \vec{j}$

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны.

В данном случае перевод в систему СИ не требуется, так как задача о векторах в координатной форме и не содержит физических величин, требующих единиц измерения.

Найти:

Значения $m$, при которых векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны.

Решение:

Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов $\vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j}$ и $\vec{b} = b_x\vec{i} + b_y\vec{j}$ вычисляется по формуле: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y $.

Для заданных векторов:

Координаты вектора $\vec{a}$ равны $a_x = m$ и $a_y = -1$.

Координаты вектора $\vec{b}$ равны $b_x = (2m - 1)$ и $b_y = 1$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (m)(2m - 1) + (-1)(1)$

Так как векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю:

$m(2m - 1) - 1 = 0$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$2m^2 - m - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $m$. Решим его, используя формулу для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. В нашем случае $a = 2$, $b = -1$, $c = -1$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения:

$m_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$m_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Таким образом, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ будут перпендикулярны при $m = 1$ или $m = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $m = 1$, $m = -\frac{1}{2}$.

113. Длина диагонали AC прямоугольника ABCD равна 4. Найдите $\vec{AC} \cdot \vec{AB} + \vec{AC} \cdot \vec{AD}$.

Дано

Прямоугольник $ABCD$.

Длина диагонали $AC = 4$.

Найти

Значение выражения $\vec{AC} \cdot \vec{AB} + \vec{AC} \cdot \vec{AD}$.

Решение

Рассмотрим данное выражение: $\vec{AC} \cdot \vec{AB} + \vec{AC} \cdot \vec{AD}$.

Используем дистрибутивное свойство скалярного произведения векторов, вынеся общий множитель $\vec{AC}$ за скобки:

$\vec{AC} \cdot \vec{AB} + \vec{AC} \cdot \vec{AD} = \vec{AC} \cdot (\vec{AB} + \vec{AD})$

В прямоугольнике $ABCD$, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ являются смежными сторонами, исходящими из одной вершины $A$. Согласно правилу сложения векторов (правилу параллелограмма), сумма этих векторов равна диагонали, исходящей из той же вершины $A$. В данном случае, это диагональ $\vec{AC}$.

Таким образом, $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.

Подставим это равенство обратно в наше выражение:

$\vec{AC} \cdot (\vec{AB} + \vec{AD}) = \vec{AC} \cdot \vec{AC}$

Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины (модуля):

$\vec{AC} \cdot \vec{AC} = |\vec{AC}|^2$

По условию задачи, длина диагонали $AC$ равна 4, то есть $|\vec{AC}| = 4$.

Следовательно:

$|\vec{AC}|^2 = 4^2 = 16$

Ответ: 16

114. Дан квадрат ABCD, сторона которого равна 5. Найдите $(\vec{AB} - 3\vec{BC})^2$.

Дано:

квадрат $ABCD$,

сторона квадрата $a = 5$.

Найти:

$(\vec{AB} - 3\vec{BC})^2$.

Решение:

Для вычисления $(\vec{AB} - 3\vec{BC})^2$ воспользуемся свойством скалярного квадрата вектора, а именно $(\vec{v})^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$.

Также используем формулу квадрата разности для векторов, аналогичную алгебраической:

$(\vec{u} - \vec{v})^2 = \vec{u}^2 - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2 = |\vec{u}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{v}|^2$.

Применим это к нашему выражению:

$(\vec{AB} - 3\vec{BC})^2 = |\vec{AB}|^2 - 2(\vec{AB} \cdot (3\vec{BC})) + |3\vec{BC}|^2$.

Воспользуемся свойством скалярного произведения, что $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$ и $|k\vec{u}|^2 = k^2 |\vec{u}|^2$:

$(\vec{AB} - 3\vec{BC})^2 = |\vec{AB}|^2 - 6(\vec{AB} \cdot \vec{BC}) + 9|\vec{BC}|^2$.

Из условия известно, что $ABCD$ - квадрат со стороной 5.

Значит, модули векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равны длине стороны квадрата:

$|\vec{AB}| = 5$.

$|\vec{BC}| = 5$.

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ являются смежными сторонами квадрата, поэтому они перпендикулярны.

Угол между ними составляет $90^\circ$.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между векторами.

Тогда $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| |\vec{BC}| \cos(90^\circ)$.

Поскольку $\cos(90^\circ) = 0$, то скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 5 \cdot 5 \cdot 0 = 0$.

Теперь подставим известные значения в выражение:

$(\vec{AB} - 3\vec{BC})^2 = (5)^2 - 6(0) + 9(5)^2$.

$(\vec{AB} - 3\vec{BC})^2 = 25 - 0 + 9 \cdot 25$.

$(\vec{AB} - 3\vec{BC})^2 = 25 + 225$.

$(\vec{AB} - 3\vec{BC})^2 = 250$.

Ответ: 250

115. Докажите, что:

а) $(\vec{a}+\vec{b})^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}$;

б) $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2$.

Дано:

Заданы произвольные векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $.

Найти:

Доказать следующие утверждения: а) $ \left(\vec{a} + \vec{b}\right)^2 = \left|\vec{a}\right|^2 + \left|\vec{b}\right|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} $; б) $ \left(\vec{a} + \vec{b}\right)\left(\vec{a} - \vec{b}\right) = \left|\vec{a}\right|^2 - \left|\vec{b}\right|^2 $.

Решение:

a)

Рассмотрим утверждение $ \left(\vec{a} + \vec{b}\right)^2 = \left|\vec{a}\right|^2 + \left|\vec{b}\right|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} $. Квадрат вектора $ \vec{x} $ определяется как его скалярное произведение на себя: $ \vec{x}^2 = \vec{x} \cdot \vec{x} = \left|\vec{x}\right|^2 $. Тогда левая часть данного равенства может быть записана как скалярное произведение:

$ \left(\vec{a} + \vec{b}\right)^2 = \left(\vec{a} + \vec{b}\right) \cdot \left(\vec{a} + \vec{b}\right) $

Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения ($ \vec{x} \cdot (\vec{y} + \vec{z}) = \vec{x} \cdot \vec{y} + \vec{x} \cdot \vec{z} $) и его коммутативности ($ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} $), раскроем выражение:

$ \left(\vec{a} + \vec{b}\right) \cdot \left(\vec{a} + \vec{b}\right) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} $

$ = \left|\vec{a}\right|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \left|\vec{b}\right|^2 $

$ = \left|\vec{a}\right|^2 + 2\left(\vec{a} \cdot \vec{b}\right) + \left|\vec{b}\right|^2 $

Таким образом, левая часть данного в задаче равенства равна $ \left|\vec{a}\right|^2 + \left|\vec{b}\right|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} $. Правая часть данного в задаче равенства равна $ \left|\vec{a}\right|^2 + \left|\vec{b}\right|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} $.

Поскольку $ 2\vec{a} \cdot \vec{b} $ в общем случае не равно $ -2\vec{a} \cdot \vec{b} $ (они равны только если $ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 $), данное тождество в общем случае не является верным.

Для демонстрации этого факта приведем контрпример. Пусть $ \vec{a} = (1, 0) $ и $ \vec{b} = (1, 0) $.

Вычислим левую часть: $ \left(\vec{a} + \vec{b}\right)^2 = \left((1,0) + (1,0)\right)^2 = \left|(2,0)\right|^2 = 2^2 = 4 $.

Вычислим правую часть: $ \left|\vec{a}\right|^2 + \left|\vec{b}\right|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = \left|(1,0)\right|^2 + \left|(1,0)\right|^2 - 2((1,0) \cdot (1,0)) $. $ = 1^2 + 1^2 - 2(1 \cdot 1 + 0 \cdot 0) = 1 + 1 - 2(1) = 2 - 2 = 0 $.

Так как $ 4 \neq 0 $, то тождество $ \left(\vec{a} + \vec{b}\right)^2 = \left|\vec{a}\right|^2 + \left|\vec{b}\right|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} $ неверно.

Возможно, в задаче имелась в виду одна из следующих корректных формул:

1) Квадрат суммы векторов: $ \left(\vec{a} + \vec{b}\right)^2 = \left|\vec{a}\right|^2 + \left|\vec{b}\right|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} $.

2) Квадрат разности векторов: $ \left(\vec{a} - \vec{b}\right)^2 = \left|\vec{a}\right|^2 + \left|\vec{b}\right|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} $.

Ответ: Данное тождество в общем случае неверно.

б)

Рассмотрим тождество $ \left(\vec{a} + \vec{b}\right)\left(\vec{a} - \vec{b}\right) = \left|\vec{a}\right|^2 - \left|\vec{b}\right|^2 $. Раскроем левую часть, используя свойство дистрибутивности скалярного произведения:

$ \left(\vec{a} + \vec{b}\right) \cdot \left(\vec{a} - \vec{b}\right) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \left(-\vec{b}\right) + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \left(-\vec{b}\right) $

Используя свойства скалярного произведения ($ \vec{a} \cdot (-\vec{b}) = -\vec{a} \cdot \vec{b} $ ) и его коммутативности ($ \vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b} $ ):

$ = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{b} $

Слагаемые $ -\vec{a} \cdot \vec{b} $ и $ +\vec{a} \cdot \vec{b} $ взаимно уничтожаются. По определению скалярного квадрата вектора $ \vec{x} \cdot \vec{x} = \left|\vec{x}\right|^2 $:

$ = \left|\vec{a}\right|^2 - \left|\vec{b}\right|^2 $

Левая часть тождества оказалась равна правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

116. Дан равносторонний треугольник ABC, периметр которого равен 12. Найдите $(\vec{AB} - 2\vec{AC})^2$.

Дано:

Равносторонний треугольник $ABC$.

Периметр $P = 12$.

Найти:

$(\vec{AB} - 2\vec{AC})^2$

Решение:

Так как треугольник $ABC$ равносторонний и его периметр равен 12, то длина каждой стороны равна $P/3 = 12/3 = 4$.

Следовательно, $|\vec{AB}| = |\vec{AC}| = 4$.

Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ в равностороннем треугольнике равен $60^\circ$, то есть $\angle BAC = 60^\circ$.

Вычислим скалярный квадрат выражения $(\vec{AB} - 2\vec{AC})^2$ по формуле $(\vec{u} - \vec{v})^2 = \vec{u}^2 - 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{v}^2$:

$(\vec{AB} - 2\vec{AC})^2 = \vec{AB}^2 - 2(\vec{AB} \cdot 2\vec{AC}) + (2\vec{AC})^2$

$(\vec{AB} - 2\vec{AC})^2 = |\vec{AB}|^2 - 4(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) + 4|\vec{AC}|^2$

Теперь вычислим необходимые значения:

$|\vec{AB}|^2 = 4^2 = 16$

$|\vec{AC}|^2 = 4^2 = 16$

Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ вычисляется по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\theta$:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| |\vec{AC}| \cos(\angle BAC) = 4 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ)$

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$

Подставим найденные значения обратно в выражение:

$(\vec{AB} - 2\vec{AC})^2 = 16 - 4(8) + 4(16)$

$(\vec{AB} - 2\vec{AC})^2 = 16 - 32 + 64$

$(\vec{AB} - 2\vec{AC})^2 = 48$

Ответ: 48

117. Дано:

$|\vec{a}| = 2$

$|\vec{b}| = 2$

$\angle(\vec{a}; \vec{b}) = 60^\circ$

Перевод в СИ:

Единицы измерения не требуются.

Найти:

$|\vec{a} + \vec{b}|$

Решение:

Для нахождения модуля суммы двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ воспользуемся формулой для квадрата модуля суммы векторов, которая выводится из скалярного произведения:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}$

Мы знаем, что скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля: $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$. Также известно, что скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\angle(\vec{a}; \vec{b}))$.

Подставим эти равенства в формулу для квадрата модуля суммы:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\angle(\vec{a}; \vec{b})) + |\vec{b}|^2$

Теперь подставим известные числовые значения из условия задачи: $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 2$ и $\angle(\vec{a}; \vec{b}) = 60^\circ$.

Значение косинуса угла 60 градусов: $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Подставляем значения в формулу:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) + 2^2$

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 4 + 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} + 4$

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 4 + 4 + 4$

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 12$

Для нахождения модуля $|\vec{a} + \vec{b}|$ извлечем квадратный корень из полученного значения:

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{12}$

Упростим выражение под корнем, выделив полный квадрат:

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{4 \cdot 3}$

$|\vec{a} + \vec{b}| = 2\sqrt{3}$

Ответ: $2\sqrt{3}$

118. Дан параллелограмм $ABCD$. Докажите, что $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0.25(AC^2 - DB^2)$.

Дано

Параллелограмм $ABCD$.

Найти

Доказать, что $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0.25(AC^2 - DB^2)$.

Решение

Обозначим векторы, исходящие из вершины $A$: $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Для параллелограмма $ABCD$ вектор диагонали $\vec{AC}$ можно выразить как сумму векторов, исходящих из одной вершины:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, $\vec{BC} = \vec{AD}$. Следовательно,

$\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$.

Длина диагонали $AC$ в квадрате будет равна скалярному квадрату вектора $\vec{AC}$:

$AC^2 = |\vec{AC}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$.

Раскрывая скалярное произведение, получаем:

$AC^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}$.

Зная, что $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$, запишем:

$AC^2 = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$. (Уравнение 1)

Теперь выразим вектор второй диагонали $\vec{DB}$. Вектор $\vec{DB}$ идет из точки $D$ в точку $B$. Его можно найти как разность векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD}$.

Следовательно,

$\vec{DB} = \vec{a} - \vec{b}$.

Длина диагонали $DB$ в квадрате будет равна скалярному квадрату вектора $\vec{DB}$:

$DB^2 = |\vec{DB}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$.

Раскрывая скалярное произведение, получаем:

$DB^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}$.

Запишем с использованием модулей векторов:

$DB^2 = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$. (Уравнение 2)

Теперь найдем разность $AC^2 - DB^2$, используя Уравнения 1 и 2:

$AC^2 - DB^2 = (|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2) - (|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2)$.

Раскроем скобки:

$AC^2 - DB^2 = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2$.

Сократим слагаемые:

$AC^2 - DB^2 = 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$.

$AC^2 - DB^2 = 4(\vec{a} \cdot \vec{b})$.

Разделим обе части на 4:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{4}(AC^2 - DB^2)$.

Переводя десятичную дробь $0.25$ в обыкновенную дробь $\frac{1}{4}$, получаем:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0.25(AC^2 - DB^2)$.

Подставляя обратно $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0.25(AC^2 - DB^2)$.

Ответ

Доказано.

119. Докажите неравенство:

a) $\vec{a} \cdot \vec{b} \leq |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$

б) $(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 \leq \vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2$.

Дано:

Два произвольных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Найти:

Доказать неравенства:

а) $\vec{a} \cdot \vec{b} \le |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$

б) $(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 \le \vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2$

Решение

а) $\vec{a} \cdot \vec{b} \le |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \theta$,

где $|\vec{a}|$ - модуль вектора $\vec{a}$, $|\vec{b}|$ - модуль вектора $\vec{b}$, а $\theta$ - угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Известно, что значение косинуса любого угла $\theta$ лежит в пределах от $-1$ до $1$, то есть:

$-1 \le \cos \theta \le 1$.

Умножим все части этого неравенства на произведение модулей векторов $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$. Поскольку модули векторов всегда неотрицательны ($|\vec{a}| \ge 0$, $|\vec{b}| \ge 0$), произведение $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ также неотрицательно, и знак неравенства не меняется:

$-|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \le |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \theta \le |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$.

Подставим определение скалярного произведения в центральную часть неравенства:

$-|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \le \vec{a} \cdot \vec{b} \le |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$.

Из этого двойного неравенства следует, что $\vec{a} \cdot \vec{b}$ всегда меньше или равно $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} \le |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$.

Неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

б) $(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 \le \vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2$

Это неравенство известно как неравенство Коши-Буняковского (или Коши-Шварца-Буняковского) для векторов. Докажем его, используя результат из пункта а).

Из пункта а) мы знаем, что:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \theta$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \theta)^2 = |\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2 \cos^2 \theta$.

Мы также знаем, что квадрат модуля вектора равен скалярному квадрату этого вектора:

$|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = \vec{a}^2$

$|\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{b}^2$

Подставим эти выражения в полученное равенство:

$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = \vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2 \cos^2 \theta$.

Так как для любого угла $\theta$ значение $\cos^2 \theta$ лежит в пределах от $0$ до $1$ (поскольку $-1 \le \cos \theta \le 1$, то $0 \le \cos^2 \theta \le 1$), мы можем написать:

$\cos^2 \theta \le 1$.

Умножим обе части этого неравенства на $\vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2$. Поскольку $\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 \ge 0$ и $\vec{b}^2 = |\vec{b}|^2 \ge 0$, произведение $\vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2$ также неотрицательно, и знак неравенства не меняется:

$\vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2 \cos^2 \theta \le \vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2 \cdot 1$.

Заменив левую часть на $(\vec{a} \cdot \vec{b})^2$, получаем:

$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 \le \vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2$.

Неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

120. Найдите $\cos 75^\circ$.

Найдите cos 75°

Дано:

Требуется найти значение косинуса угла $75^\circ$.

Данные не требуют перевода в систему СИ, так как углы не выражаются в единицах СИ для данного типа задачи.

Найти:

$\cos 75^\circ$

Решение:

Для нахождения точного значения $\cos 75^\circ$ мы можем воспользоваться формулой косинуса суммы двух углов. Угол $75^\circ$ удобно представить как сумму двух известных углов, для которых тригонометрические значения являются табличными:

$75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$

Формула косинуса суммы углов имеет вид:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

В нашем случае, пусть $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = 30^\circ$.

Известные табличные значения синусов и косинусов для этих углов:

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

Теперь подставим эти значения в формулу косинуса суммы:

$\cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ$

$\cos 75^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)$

Выполним умножение в каждом слагаемом:

$\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2} \cdot 1}{2 \cdot 2}$

$\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Теперь объединим дроби, так как у них общий знаменатель:

$\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Таким образом, точное значение $\cos 75^\circ$ найдено.

Ответ:

$\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$