Номер 114, страница 51 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

114. Дан квадрат ABCD, сторона которого равна 5. Найдите $(\vec{AB} - 3\vec{BC})^2$.

Дано:

квадрат $ABCD$,

сторона квадрата $a = 5$.

Найти:

$(\vec{AB} - 3\vec{BC})^2$.

Решение:

Для вычисления $(\vec{AB} - 3\vec{BC})^2$ воспользуемся свойством скалярного квадрата вектора, а именно $(\vec{v})^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$.

Также используем формулу квадрата разности для векторов, аналогичную алгебраической:

$(\vec{u} - \vec{v})^2 = \vec{u}^2 - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2 = |\vec{u}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) + |\vec{v}|^2$.

Применим это к нашему выражению:

$(\vec{AB} - 3\vec{BC})^2 = |\vec{AB}|^2 - 2(\vec{AB} \cdot (3\vec{BC})) + |3\vec{BC}|^2$.

Воспользуемся свойством скалярного произведения, что $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$ и $|k\vec{u}|^2 = k^2 |\vec{u}|^2$:

$(\vec{AB} - 3\vec{BC})^2 = |\vec{AB}|^2 - 6(\vec{AB} \cdot \vec{BC}) + 9|\vec{BC}|^2$.

Из условия известно, что $ABCD$ - квадрат со стороной 5.

Значит, модули векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равны длине стороны квадрата:

$|\vec{AB}| = 5$.

$|\vec{BC}| = 5$.

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ являются смежными сторонами квадрата, поэтому они перпендикулярны.

Угол между ними составляет $90^\circ$.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между векторами.

Тогда $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| |\vec{BC}| \cos(90^\circ)$.

Поскольку $\cos(90^\circ) = 0$, то скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 5 \cdot 5 \cdot 0 = 0$.

Теперь подставим известные значения в выражение:

$(\vec{AB} - 3\vec{BC})^2 = (5)^2 - 6(0) + 9(5)^2$.

$(\vec{AB} - 3\vec{BC})^2 = 25 - 0 + 9 \cdot 25$.

$(\vec{AB} - 3\vec{BC})^2 = 25 + 225$.

$(\vec{AB} - 3\vec{BC})^2 = 250$.

Ответ: 250