Номер 109, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

109. Найдите угол между векторами $\vec{a}(-4; 0)$ и $\vec{b}(4; -4)$.

Дано

Вектор $ \vec{a} = (-4; 0) $
Вектор $ \vec{b} = (4; -4) $

Найти

Угол $ \theta $ между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $.

Решение

Для нахождения угла $ \theta $ между двумя векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ используется формула: $ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} $ где $ \vec{a} \cdot \vec{b} $ - скалярное произведение векторов, а $ |\vec{a}| $ и $ |\vec{b}| $ - модули (длины) векторов.

1. Вычислим скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y $ $ \vec{a} \cdot \vec{b} = (-4) \cdot 4 + 0 \cdot (-4) $ $ \vec{a} \cdot \vec{b} = -16 + 0 $ $ \vec{a} \cdot \vec{b} = -16 $

2. Вычислим модуль вектора $ \vec{a} $: $ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} $ $ |\vec{a}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} $ $ |\vec{a}| = \sqrt{16 + 0} $ $ |\vec{a}| = \sqrt{16} $ $ |\vec{a}| = 4 $

3. Вычислим модуль вектора $ \vec{b} $: $ |\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2} $ $ |\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2} $ $ |\vec{b}| = \sqrt{16 + 16} $ $ |\vec{b}| = \sqrt{32} $ $ |\vec{b}| = \sqrt{16 \cdot 2} $ $ |\vec{b}| = 4\sqrt{2} $

4. Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла: $ \cos \theta = \frac{-16}{4 \cdot 4\sqrt{2}} $ $ \cos \theta = \frac{-16}{16\sqrt{2}} $ $ \cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}} $ $ \cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

5. Найдем угол $ \theta $: $ \theta = \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $ Из таблицы значений косинуса известно, что $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 135^\circ $ или $ \frac{3\pi}{4} $ радиан.

Ответ:

Угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ равен $ 135^\circ $.