Номер 115, страница 51 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

115. Докажите, что:

а) $(\vec{a}+\vec{b})^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}$;

б) $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2$.

Дано:

Заданы произвольные векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $.

Найти:

Доказать следующие утверждения: а) $ \left(\vec{a} + \vec{b}\right)^2 = \left|\vec{a}\right|^2 + \left|\vec{b}\right|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} $; б) $ \left(\vec{a} + \vec{b}\right)\left(\vec{a} - \vec{b}\right) = \left|\vec{a}\right|^2 - \left|\vec{b}\right|^2 $.

Решение:

a)

Рассмотрим утверждение $ \left(\vec{a} + \vec{b}\right)^2 = \left|\vec{a}\right|^2 + \left|\vec{b}\right|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} $. Квадрат вектора $ \vec{x} $ определяется как его скалярное произведение на себя: $ \vec{x}^2 = \vec{x} \cdot \vec{x} = \left|\vec{x}\right|^2 $. Тогда левая часть данного равенства может быть записана как скалярное произведение:

$ \left(\vec{a} + \vec{b}\right)^2 = \left(\vec{a} + \vec{b}\right) \cdot \left(\vec{a} + \vec{b}\right) $

Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения ($ \vec{x} \cdot (\vec{y} + \vec{z}) = \vec{x} \cdot \vec{y} + \vec{x} \cdot \vec{z} $) и его коммутативности ($ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} $), раскроем выражение:

$ \left(\vec{a} + \vec{b}\right) \cdot \left(\vec{a} + \vec{b}\right) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} $

$ = \left|\vec{a}\right|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \left|\vec{b}\right|^2 $

$ = \left|\vec{a}\right|^2 + 2\left(\vec{a} \cdot \vec{b}\right) + \left|\vec{b}\right|^2 $

Таким образом, левая часть данного в задаче равенства равна $ \left|\vec{a}\right|^2 + \left|\vec{b}\right|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} $. Правая часть данного в задаче равенства равна $ \left|\vec{a}\right|^2 + \left|\vec{b}\right|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} $.

Поскольку $ 2\vec{a} \cdot \vec{b} $ в общем случае не равно $ -2\vec{a} \cdot \vec{b} $ (они равны только если $ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 $), данное тождество в общем случае не является верным.

Для демонстрации этого факта приведем контрпример. Пусть $ \vec{a} = (1, 0) $ и $ \vec{b} = (1, 0) $.

Вычислим левую часть: $ \left(\vec{a} + \vec{b}\right)^2 = \left((1,0) + (1,0)\right)^2 = \left|(2,0)\right|^2 = 2^2 = 4 $.

Вычислим правую часть: $ \left|\vec{a}\right|^2 + \left|\vec{b}\right|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = \left|(1,0)\right|^2 + \left|(1,0)\right|^2 - 2((1,0) \cdot (1,0)) $. $ = 1^2 + 1^2 - 2(1 \cdot 1 + 0 \cdot 0) = 1 + 1 - 2(1) = 2 - 2 = 0 $.

Так как $ 4 \neq 0 $, то тождество $ \left(\vec{a} + \vec{b}\right)^2 = \left|\vec{a}\right|^2 + \left|\vec{b}\right|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} $ неверно.

Возможно, в задаче имелась в виду одна из следующих корректных формул:

1) Квадрат суммы векторов: $ \left(\vec{a} + \vec{b}\right)^2 = \left|\vec{a}\right|^2 + \left|\vec{b}\right|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} $.

2) Квадрат разности векторов: $ \left(\vec{a} - \vec{b}\right)^2 = \left|\vec{a}\right|^2 + \left|\vec{b}\right|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} $.

Ответ: Данное тождество в общем случае неверно.

б)

Рассмотрим тождество $ \left(\vec{a} + \vec{b}\right)\left(\vec{a} - \vec{b}\right) = \left|\vec{a}\right|^2 - \left|\vec{b}\right|^2 $. Раскроем левую часть, используя свойство дистрибутивности скалярного произведения:

$ \left(\vec{a} + \vec{b}\right) \cdot \left(\vec{a} - \vec{b}\right) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \left(-\vec{b}\right) + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \left(-\vec{b}\right) $

Используя свойства скалярного произведения ($ \vec{a} \cdot (-\vec{b}) = -\vec{a} \cdot \vec{b} $ ) и его коммутативности ($ \vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b} $ ):

$ = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{b} $

Слагаемые $ -\vec{a} \cdot \vec{b} $ и $ +\vec{a} \cdot \vec{b} $ взаимно уничтожаются. По определению скалярного квадрата вектора $ \vec{x} \cdot \vec{x} = \left|\vec{x}\right|^2 $:

$ = \left|\vec{a}\right|^2 - \left|\vec{b}\right|^2 $

Левая часть тождества оказалась равна правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.