Номер 118, страница 51 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

118. Дан параллелограмм $ABCD$. Докажите, что $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0.25(AC^2 - DB^2)$.

Дано

Параллелограмм $ABCD$.

Найти

Доказать, что $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0.25(AC^2 - DB^2)$.

Решение

Обозначим векторы, исходящие из вершины $A$: $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Для параллелограмма $ABCD$ вектор диагонали $\vec{AC}$ можно выразить как сумму векторов, исходящих из одной вершины:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, $\vec{BC} = \vec{AD}$. Следовательно,

$\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}$.

Длина диагонали $AC$ в квадрате будет равна скалярному квадрату вектора $\vec{AC}$:

$AC^2 = |\vec{AC}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$.

Раскрывая скалярное произведение, получаем:

$AC^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}$.

Зная, что $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$, запишем:

$AC^2 = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$. (Уравнение 1)

Теперь выразим вектор второй диагонали $\vec{DB}$. Вектор $\vec{DB}$ идет из точки $D$ в точку $B$. Его можно найти как разность векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD}$.

Следовательно,

$\vec{DB} = \vec{a} - \vec{b}$.

Длина диагонали $DB$ в квадрате будет равна скалярному квадрату вектора $\vec{DB}$:

$DB^2 = |\vec{DB}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$.

Раскрывая скалярное произведение, получаем:

$DB^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}$.

Запишем с использованием модулей векторов:

$DB^2 = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$. (Уравнение 2)

Теперь найдем разность $AC^2 - DB^2$, используя Уравнения 1 и 2:

$AC^2 - DB^2 = (|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2) - (|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2)$.

Раскроем скобки:

$AC^2 - DB^2 = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2$.

Сократим слагаемые:

$AC^2 - DB^2 = 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$.

$AC^2 - DB^2 = 4(\vec{a} \cdot \vec{b})$.

Разделим обе части на 4:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{4}(AC^2 - DB^2)$.

Переводя десятичную дробь $0.25$ в обыкновенную дробь $\frac{1}{4}$, получаем:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0.25(AC^2 - DB^2)$.

Подставляя обратно $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0.25(AC^2 - DB^2)$.

Ответ

Доказано.