Номер 117, страница 51 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

117. Дано:

$|\vec{a}| = 2$

$|\vec{b}| = 2$

$\angle(\vec{a}; \vec{b}) = 60^\circ$

Перевод в СИ:

Единицы измерения не требуются.

Найти:

$|\vec{a} + \vec{b}|$

Решение:

Для нахождения модуля суммы двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ воспользуемся формулой для квадрата модуля суммы векторов, которая выводится из скалярного произведения:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b}$

Мы знаем, что скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля: $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$. Также известно, что скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\angle(\vec{a}; \vec{b}))$.

Подставим эти равенства в формулу для квадрата модуля суммы:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\angle(\vec{a}; \vec{b})) + |\vec{b}|^2$

Теперь подставим известные числовые значения из условия задачи: $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 2$ и $\angle(\vec{a}; \vec{b}) = 60^\circ$.

Значение косинуса угла 60 градусов: $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Подставляем значения в формулу:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) + 2^2$

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 4 + 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} + 4$

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 4 + 4 + 4$

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 12$

Для нахождения модуля $|\vec{a} + \vec{b}|$ извлечем квадратный корень из полученного значения:

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{12}$

Упростим выражение под корнем, выделив полный квадрат:

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{4 \cdot 3}$

$|\vec{a} + \vec{b}| = 2\sqrt{3}$

Ответ: $2\sqrt{3}$