Номер 119, страница 51 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

119. Докажите неравенство:

a) $\vec{a} \cdot \vec{b} \leq |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$

б) $(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 \leq \vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2$.

Дано:

Два произвольных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Найти:

Доказать неравенства:

а) $\vec{a} \cdot \vec{b} \le |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$

б) $(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 \le \vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2$

Решение

а) $\vec{a} \cdot \vec{b} \le |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \theta$,

где $|\vec{a}|$ - модуль вектора $\vec{a}$, $|\vec{b}|$ - модуль вектора $\vec{b}$, а $\theta$ - угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Известно, что значение косинуса любого угла $\theta$ лежит в пределах от $-1$ до $1$, то есть:

$-1 \le \cos \theta \le 1$.

Умножим все части этого неравенства на произведение модулей векторов $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$. Поскольку модули векторов всегда неотрицательны ($|\vec{a}| \ge 0$, $|\vec{b}| \ge 0$), произведение $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ также неотрицательно, и знак неравенства не меняется:

$-|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \le |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \theta \le |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$.

Подставим определение скалярного произведения в центральную часть неравенства:

$-|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \le \vec{a} \cdot \vec{b} \le |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$.

Из этого двойного неравенства следует, что $\vec{a} \cdot \vec{b}$ всегда меньше или равно $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} \le |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$.

Неравенство доказано.

Ответ: Доказано.

б) $(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 \le \vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2$

Это неравенство известно как неравенство Коши-Буняковского (или Коши-Шварца-Буняковского) для векторов. Докажем его, используя результат из пункта а).

Из пункта а) мы знаем, что:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \theta$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \theta)^2 = |\vec{a}|^2 \cdot |\vec{b}|^2 \cos^2 \theta$.

Мы также знаем, что квадрат модуля вектора равен скалярному квадрату этого вектора:

$|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = \vec{a}^2$

$|\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{b}^2$

Подставим эти выражения в полученное равенство:

$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = \vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2 \cos^2 \theta$.

Так как для любого угла $\theta$ значение $\cos^2 \theta$ лежит в пределах от $0$ до $1$ (поскольку $-1 \le \cos \theta \le 1$, то $0 \le \cos^2 \theta \le 1$), мы можем написать:

$\cos^2 \theta \le 1$.

Умножим обе части этого неравенства на $\vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2$. Поскольку $\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 \ge 0$ и $\vec{b}^2 = |\vec{b}|^2 \ge 0$, произведение $\vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2$ также неотрицательно, и знак неравенства не меняется:

$\vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2 \cos^2 \theta \le \vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2 \cdot 1$.

Заменив левую часть на $(\vec{a} \cdot \vec{b})^2$, получаем:

$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 \le \vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2$.

Неравенство доказано.

Ответ: Доказано.