Номер 112, страница 51 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

112. Найдите все значения $m$, при которых векторы $\vec{a} = m\vec{i} - \vec{j}$ и $\vec{b} = (2m - 1)\vec{i} + \vec{j}$ перпендикулярны.

Дано:

Вектор $\vec{a} = m\vec{i} - \vec{j}$

Вектор $\vec{b} = (2m - 1)\vec{i} + \vec{j}$

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны.

В данном случае перевод в систему СИ не требуется, так как задача о векторах в координатной форме и не содержит физических величин, требующих единиц измерения.

Найти:

Значения $m$, при которых векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны.

Решение:

Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов $\vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j}$ и $\vec{b} = b_x\vec{i} + b_y\vec{j}$ вычисляется по формуле: $ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y $.

Для заданных векторов:

Координаты вектора $\vec{a}$ равны $a_x = m$ и $a_y = -1$.

Координаты вектора $\vec{b}$ равны $b_x = (2m - 1)$ и $b_y = 1$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (m)(2m - 1) + (-1)(1)$

Так как векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю:

$m(2m - 1) - 1 = 0$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$2m^2 - m - 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $m$. Решим его, используя формулу для корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. В нашем случае $a = 2$, $b = -1$, $c = -1$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения:

$m_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$m_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Таким образом, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ будут перпендикулярны при $m = 1$ или $m = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $m = 1$, $m = -\frac{1}{2}$.