Номер 110, страница 51 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

110. Найдите угол M треугольника с вершинами $M(-2\sqrt{3}; -1)$, $N(0; 1)$, $K(0; -1)$.

Дано:
Вершины треугольника: $M(-2\sqrt{3}; -1)$, $N(0; 1)$, $K(0; -1)$.

Перевод в СИ:
Координаты являются безразмерными величинами в данной задаче, поэтому перевод в СИ не требуется.

Найти:
Угол $M$.

Решение:
Для нахождения угла $M$ в треугольнике $MNK$ воспользуемся формулой для косинуса угла между двумя векторами, исходящими из одной вершины. В данном случае это векторы $\vec{MN}$ и $\vec{MK}$.

1. Найдем координаты векторов $\vec{MN}$ и $\vec{MK}$.
Координаты вектора определяются как разность координат конечной и начальной точек.

Для вектора $\vec{MN}$:
$x_{MN} = x_N - x_M = 0 - (-2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$
$y_{MN} = y_N - y_M = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$
Следовательно, $\vec{MN} = (2\sqrt{3}; 2)$.

Для вектора $\vec{MK}$:
$x_{MK} = x_K - x_M = 0 - (-2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$
$y_{MK} = y_K - y_M = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0$
Следовательно, $\vec{MK} = (2\sqrt{3}; 0)$.

2. Найдем длины (модули) векторов $\vec{MN}$ и $\vec{MK}$.
Длина вектора $V(x; y)$ вычисляется по формуле $|V| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Для $|\vec{MN}|$:
$|\vec{MN}| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{4 \cdot 3 + 4} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$.

Для $|\vec{MK}|$:
$|\vec{MK}| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{4 \cdot 3 + 0} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

3. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{MN}$ и $\vec{MK}$.
Скалярное произведение векторов $V_1(x_1; y_1)$ и $V_2(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $V_1 \cdot V_2 = x_1 x_2 + y_1 y_2$.

$\vec{MN} \cdot \vec{MK} = (2\sqrt{3})(2\sqrt{3}) + (2)(0) = (4 \cdot 3) + 0 = 12$.

4. Вычислим косинус угла $M$ по формуле:
$\cos(\angle M) = \frac{\vec{MN} \cdot \vec{MK}}{|\vec{MN}| \cdot |\vec{MK}|}$

$\cos(\angle M) = \frac{12}{4 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{12}{8\sqrt{3}}$

Сократим дробь и избавимся от иррациональности в знаменателе:
$\cos(\angle M) = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

5. Найдем значение угла $M$.
$\angle M = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Известно, что $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$.

Ответ:
Угол $M$ равен $30^\circ$.