Номер 108, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

108. В равностороннем $\Delta MNP$ точка $K$ – середина стороны $MP$, причем $MP = 4$. Найдите скалярное произведение векторов:

а) $\vec{MN}$ и $\vec{KP}$;

б) $\vec{MK}$ и $\vec{NK}$;

в) $\vec{MP}$ и $\vec{PK}$;

г) $\vec{MN}$ и $\vec{NK}$.

Дано:

Равносторонний $\triangle MNP$.

Точка $K$ - середина стороны $MP$.

$MP = 4$.

Перевод в СИ:

Данные не требуют перевода в СИ, так как это геометрическая задача с относительными единицами длины. Длина стороны $MP = 4$ единицы.

Так как $\triangle MNP$ равносторонний, то $MN = NP = MP = 4$.

Так как $K$ - середина $MP$, то $MK = KP = MP/2 = 4/2 = 2$.

В равностороннем треугольнике медиана $NK$ является также высотой, поэтому $NK \perp MP$.

Длину высоты $NK$ можно найти по теореме Пифагора в прямоугольном $\triangle NKP$ (или $\triangle NKM$):

$NK = \sqrt{NP^2 - KP^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Найти:

а) Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{KP}$.

б) Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{MK}$ и $\overrightarrow{NK}$.

в) Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{MP}$ и $\overrightarrow{PK}$.

г) Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{NK}$.

Решение:

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется как $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$, где $\theta$ - угол между векторами.

а) MN и KP

Длины векторов: $|\overrightarrow{MN}| = MN = 4$, $|\overrightarrow{KP}| = KP = 2$.

Вектор $\overrightarrow{KP}$ лежит на стороне $MP$ и направлен от $K$ к $P$. Вектор $\overrightarrow{MP}$ направлен от $M$ к $P$. Так как $K$ - середина $MP$, $\overrightarrow{KP}$ сонаправлен с $\overrightarrow{MP}$.

Угол между $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{MP}$ в равностороннем треугольнике равен $\angle NMP = 60^\circ$.

Следовательно, угол между $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{KP}$ также равен $60^\circ$.

$\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{KP} = |\overrightarrow{MN}| |\overrightarrow{KP}| \cos(60^\circ) = 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 4$.

Ответ: 4

б) MK и NK

Длины векторов: $|\overrightarrow{MK}| = MK = 2$, $|\overrightarrow{NK}| = NK = 2\sqrt{3}$.

Вектор $\overrightarrow{MK}$ лежит на стороне $MP$ и направлен от $M$ к $K$.

Вектор $\overrightarrow{NK}$ является медианой и, следовательно, высотой в равностороннем $\triangle MNP$. Поэтому $NK \perp MP$.

Угол между $\overrightarrow{MK}$ и $\overrightarrow{NK}$ равен $90^\circ$ (так как $NK \perp MP$, а $\overrightarrow{MK}$ лежит на $MP$).

$\overrightarrow{MK} \cdot \overrightarrow{NK} = |\overrightarrow{MK}| |\overrightarrow{NK}| \cos(90^\circ) = 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

в) MP и PK

Длины векторов: $|\overrightarrow{MP}| = MP = 4$, $|\overrightarrow{PK}| = PK = 2$.

Вектор $\overrightarrow{MP}$ направлен от $M$ к $P$.

Вектор $\overrightarrow{PK}$ направлен от $P$ к $K$.

Эти векторы лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны. Угол между ними равен $180^\circ$.

$\overrightarrow{MP} \cdot \overrightarrow{PK} = |\overrightarrow{MP}| |\overrightarrow{PK}| \cos(180^\circ) = 4 \cdot 2 \cdot (-1) = -8$.

Ответ: -8

г) MN и NK

Длины векторов: $|\overrightarrow{MN}| = MN = 4$, $|\overrightarrow{NK}| = NK = 2\sqrt{3}$.

Для определения угла между $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{NK}$ рассмотрим $\triangle MNK$.

В $\triangle MNP$, $NK$ - высота и биссектриса угла $\angle MNP$. Следовательно, $\angle KNM = \frac{1}{2} \angle MNP = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

Таким образом, угол между векторами $\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{NK}$ равен $30^\circ$.

$\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{NK} = |\overrightarrow{MN}| |\overrightarrow{NK}| \cos(30^\circ) = 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12