Номер 102, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

102. Дан равнобедренный $\triangle ABC$, в котором $AB = BC$, $\angle B = 30^\circ$ (рисунок 77). Найдите угол между векторами:

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$;

б) $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$;

в) $\vec{AC}$ и $\vec{BA}$.

Рисунок 77

Рисунок 78

Дано:

Равнобедренный треугольник $ABC$.

Стороны $AB = BC$.

Угол $\angle B = 30^\circ$.

Найти:

а) Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

б) Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$.

в) Угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BA}$.

Решение:

Сначала найдем углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$.

Так как $AB = BC$, углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

Следовательно, $\angle BAC + \angle BCA + \angle B = 180^\circ$.

Подставляя известные значения: $2 \cdot \angle BAC + 30^\circ = 180^\circ$.

$2 \cdot \angle BAC = 180^\circ - 30^\circ$.

$2 \cdot \angle BAC = 150^\circ$.

$\angle BAC = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ$.

Значит, $\angle BCA = 75^\circ$.

а) Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$

Угол между двумя векторами, исходящими из одной точки (имеющими общее начало), равен углу между соответствующими сторонами треугольника. В данном случае векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ имеют общее начало в точке $A$. Следовательно, угол между ними равен углу $\angle BAC$.

Мы нашли, что $\angle BAC = 75^\circ$.

Ответ: $75^\circ$

б) Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ не имеют общего начала. Чтобы найти угол между ними, необходимо привести их к общему началу. Мы можем перенести вектор $\vec{AB}$ так, чтобы его начало совпадало с началом вектора $\vec{BC}$, то есть в точку $B$. При этом направление вектора $\vec{AB}$ будет противоположно направлению вектора $\vec{BA}$.

Угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ равен $\angle ABC = 30^\circ$.

Вектор $\vec{AB}$ противоположен вектору $\vec{BA}$ (т.е. $\vec{AB} = -\vec{BA}$). Если угол между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равен $\theta$, то угол между векторами $-\vec{u}$ и $\vec{v}$ равен $180^\circ - \theta$.

Следовательно, угол между $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равен $180^\circ - \angle(\vec{BA}, \vec{BC})$.

Угол между $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равен $180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Ответ: $150^\circ$

в) Угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BA}$

Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BA}$ не имеют общего начала. Приведем их к общему началу, например, в точку $A$. Вектор $\vec{AC}$ уже начинается в $A$. Вектор $\vec{BA}$ направлен из $B$ в $A$. Вектор $\vec{AB}$ направлен из $A$ в $B$. То есть $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

Мы знаем угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$, который равен $\angle BAC = 75^\circ$.

Чтобы найти угол между $\vec{AC}$ и $\vec{BA}$ (то есть $\vec{AC}$ и $-\vec{AB}$), используем то же свойство: если угол между $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равен $\theta$, то угол между $\vec{u}$ и $-\vec{v}$ равен $180^\circ - \theta$.

Следовательно, угол между $\vec{AC}$ и $\vec{BA}$ равен $180^\circ - \angle(\vec{AC}, \vec{AB})$.

Угол между $\vec{AC}$ и $\vec{BA}$ равен $180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$.

Ответ: $105^\circ$